子流形几何中的陈省身猜想与特征值问题研究

In this project, we will investigate the problems in geometry of submanifolds on curvature gap, curvature pinching, eigenvalue estimate and eigenvalue pinching. By exploring new curvature estimate methods, we will improve the second gap of the scalar curvature for closed minimal hypersurfaces with constant scalar curvature in a sphere, the second pinching interval of the scalar curvature for closed minimal hypersurfaces in a sphere, and promote the study of the Chern conjecture for minimal hypersurfaces in a sphere. In particular, we study the optimal second pinching problem on the scalar curvature for closed minimal hypersurfaces in a four-dimensional sphere, and extend studies above to the cases of hypersurfaces with constant mean curvature in a sphere and self-shrinkers in the Euclidean space. More generally, we study the existence on the second gap of the extrinsic curvature for closed minimal submanifolds in a sphere and its generalizations. On the other hand, we will study the higher eigenvalue estimate problem for Riemannian submanifolds, and study the first eigenvalue pinching problem for hypersurfaces and submanifolds in the Euclidean space. This project belongs to frontier research fields in the core of mathematics. It has strong theoretical significance and many important applications.

本项目旨在研究子流形几何中的曲率空隙与曲率拼挤问题、特征值估计与特征值拼挤问题。通过探索新的曲率估计方法，深入研究球面中具有常数量曲率的闭极小超曲面数量曲率的第二空隙、球面中闭极小超曲面数量曲率的第二拼挤区间的优化问题，推进关于球面中极小超曲面的陈省身猜想的研究。特别地，将研究四维球面中闭极小超曲面数量曲率的最优第二拼挤问题，并将上述研究课题进一步推广到球面中常平均曲率超曲面和欧氏空间中平均曲率流的自收缩子情形。更一般地，将研究球面中高余维闭极小子流形关于外蕴曲率量的第二空隙存在性问题及其推广。另一方面，本项目将研究黎曼子流形的高阶特征值估计问题，研究欧氏空间中超曲面与高余维子流形第一特征值的拼挤问题。本课题属核心数学的前沿领域，具有很强的理论性和若干重要的应用。

子流形几何是现代微分几何的主流研究方向之一。本项目主要研究了关于球面中极小超曲面的陈省身猜想及其推广、空间形式中子流形的积分型曲率拼挤问题、黎曼流形上高阶特征值估计等国际前沿课题。运用Bochner技巧、多参数变量法、Sylvester理论等综合方法，我们两次改进了关于球面中极小超曲面数量曲率的第二拼挤定理，证明了单位球面中n维极小超曲面关于数量曲率的第二拼挤区间宽度至少为n/18；获得了球面中n维小常平均曲率超曲面关于数量曲率的新的第二拼挤定理；证明了(n+1)维欧氏空间中n维自收缩子关于S的第二拼挤区间宽度至少为1/18；获得了(n+1)维欧氏空间中λ超曲面关于S的第二拼挤定理；证明了积分型曲率拼挤条件下关于欧氏空间中一类闭超曲面的球面定理；证明了关于双曲空间中一类完备的平行平均曲率子流形的积分型曲率拼挤定理；估计了一类黎曼子流形上Laplace算子和Schrodinger算子的高阶特征值。