退化抛物型偏微分方程的系数反演问题

本项目研究两个利用终端观测数据重构退化抛物型方程的未知系数的反问题。此类问题在人口预测与控制，多孔介质流体力学，以及金融衍生产品定价等许多应用科学领域有重要意义。与普通的抛物型方程系数反问题不同，这里的方程在部分边界存在退化。方程的退化性一方面会导致在部分边界可能会缺少边界条件，另一方面会导致一些常用的先验估计工具不再适用。另外，由于反问题的不适定性，终端观测数据的微小扰动将会导致解的巨大变化。我们的工作主要包括以下两个方面：1、理论方面：研究反问题的解的唯一性和条件稳定性，以及基于Tikhonov正则化理论框架下的最优控制解的存在性、唯一性和稳定性。2、数值模拟方面：在理论分析的基础上，设计稳定的迭代算法，进行数值试验，并作误差分析。我们的方法和成果可望为解决这类问题提供比较可行的解决途径。

在本项目中，我们研究了具退化系数的二阶抛物型方程的系数反演问题。与经典的抛物型方程不同，这里的方程允许在区域的部分边界退化为零。我们应用椭圆正则化方法结合先验估计等方法研究了正问题解的适定性，利用极值原理和压缩映像原理证明了反问题解的唯一性。基于最优控制理论框架，我们将原问题转化为一个优化问题，讨论了极小元的存在性，唯一性，稳定性和收敛性。另外，我们在理论分析的基础上，设计迭代算法，通过数值计算得到了反问题的近似解，并进行了误差分析。