非定向情形下的迭代根与嵌入流问题

Embedding flow not only reflects the relation between discrete and continuous dynamical systems, but also links closely with the problems of normal form, linearization, integrability etc in dynamical system. Regarded as a weak version of the problem of embedding flow, iterative root characterizes the middle process of motion for discrete dynamical system, which is one of the fundamental subject. There are few results on the iterative roots for non-oriented mappings, because it is much more complicated than the case of orientation-preserving and reversing. In this programme, we investigate the iterative root for two types of non-oriented mappings and multifunctions with two parts: (1) Since the order relation is uncertain for non-oriented mapping, classical piecewise definition method does not hold anymore. According to the theory of topological classification and computer algebra system, we discuss the construction and concrete algorithms for iterative roots, as well as its stability. (2) Since the set of having iterative roots is few, finding the jumping set-valued, so called generalized continuous root becomes a new problem. However, known results on iterative roots were obtained only for exact one set-valued point because of the complexity of multifunction. By using the continuity theory in set-valued analysis and the extension theory of attractive region, we discuss the iterative roots for countable many set-valued points. This programme not only enriches the theory of existence for iterative root, but also presents a new manner to complete the embedding flow problem for the case of non-orientation.

嵌入流反映了离散与连续动力系统之间的关系，同时与动力系统中的正规形、线性化、可积性等问题紧密联系。而迭代根作为嵌入流的弱问题，刻画了离散运动的中间过程，是动力系统理论的基本问题之一，其中非定向的迭代根问题比保向和反向的情况更为复杂，目前的研究结果甚少。本项目将分两部分研究两类非定向映射与多集值点映射的迭代根：（1）由于非定向映射序关系的不确定性，经典的逐段定义法不再成立，我们将利用拓扑分类思想和计算机代数系统理论，研究该映射迭代根的构造与具体的算法，并进一步讨论根的稳定性；（2）由于存在迭代根的映射很少，寻找跳跃集值这类广义连续根便成为一个新的问题。又因为多集值点映射的复杂性，目前的研究仅限于讨论单个集值点的情况。我们将结合集值分析的连续理论与吸引区域的延拓方法，讨论可数多个集值点迭代根的构造。本项目的研究不仅丰富了迭代根的存在理论，也为解决非定向情形下的嵌入流问题提供一种新的方法。

动力系统是研究事物随时间演变的规律，以迭代为基本运算形式的迭代方程是动力系统中泛函方程的基本问题之一。迭代根作为嵌入流的弱问题，在一定程度上反映了离散与连续动力系统之间的关系。由于映射迭代根问题对单调性的要求，目前单调条件下已获得丰富的结果。本项目主要研究严格逐段单调连续函数与集值函数的迭代根存在性，逐段单调映射与其迭代根的拓扑分类，以及与此相关的迭代方程和差分方程的解：（i）对于张景中院士等人提出的关于逐段单调连续函数的公开问题，通过对函数非单调高度的分类，我们给出高度有限下迭代根存在的充要条件，我们还进一步得到迭代根，包括连续与非连续根的具体算法；（ii）针对定义在紧区间上的上半连续集值函数，我们研究一个集值点函数的迭代规律，利用该函数在子区间上的严格单调性，得到集值点的位置与其n次迭代式之间的关系；（iii）对于一般形式的迭代方程，在首项系数可以为零的情况下我们给出该方程存在连续解的充分条件，并证明此类解在一定条件下的Hyers-Ulam稳定性；同时，考虑除去线性化条件的全局连续解，我们通过施罗德变换工具，得到无穷多个递增连续解的构造方法；（iv）通过特征区间延拓定理，我们分别得到非单调映射与其迭代根共轭的必要与充分条件，将之前的单调结果推广到非单调情形；同时，我们通过对逐段单调函数的拓扑关系研究，得到有限高度下迭代根之间共轭的充要条件；（v）对于一类n阶柯西差分方程，通过讨论解的一般性质，我们给出一个生成元的自由群上特殊解集，并且在一定条件下分别得到有限循环群与对称群上存在解的充分必要条件。本项目对非单调高度有限迭代根的研究为今后讨论一般非单调连续函数的迭代根，包括非单调高度无穷下的迭代根、迭代的计算或估计、迭代序列极限的收敛性以及迭代方程解的存在唯一性等问题打下基础。同时，也为我们下一步研究与迭代根相关的共轭、嵌入流以及不变曲线等问题创造良好的条件。