多项式映射的迭代根及相关问题

The problem of iterative roots, being a weak version of the problem of embedding flows, is an important issue in the theory of dynamical systems. As a powerful tool to analyze the middle of the process of discrete dynamical systems and the relationship between discrete dynamical systems and continuous dynamic systems, How to compute the iterative roots also attracted the attention of the academic circles. However, the way to give the calculation method by analytical approach is very difficult. The Weierstrass Approximation Theorem tells us that the C^0 function on any bounded closed interval can be approximated by polynomials. Moreover, the polynomial is computable. Therefore, this project intends to focus on the iterative roots problem of polynomial mappings. For the one-dimensional case, polynomial as a non-monotone mapping, the degree of non-monotonicity is determined by the important index height, this project intends to introduce the concept of "descendants " and give an algorithm of height based on the corresponding theory of polynomial algebra, then for different height, we give the existence of the iterative roots, the algorithm and the relationship between the iterative roots and the original mapping of polynomials in the topological sense. Furthermore, in the case of high dimensional, this project intends to study the class of degree-preserving mappings and iterative roots. Besides that, we will discuss the normalization of mappings under conjugated equivalence, i.e. in the case of non-hyperbolic, we consider reducing the mappings to a higher order of monomial, even a power function, so that we can compute the iterations and iterative roots of more mappings.

迭代根问题是动力系统理论的一个重要问题，它可以看作嵌入流问题的弱问题。作为一种分析离散动力系统中间过程以及离散动力系统与连续动力系统关系的有力工具，如何计算迭代根引起了人们的重视。但是想通过解析的方式给出计算方法却十分困难。Weierstrass逼近定理告诉我们任意有界闭区间上的C^0函数总可以用多项式来逼近，而多项式又是可计算的。因此，本项目拟关注多项式映射的迭代根问题。对于一维情形，多项式作为一类非单调映射，其非单调程度由重要指标高度决定，本项目拟引入“后代”的概念并结合多项式代数的相关理论给出高度的算法，进而对不同的高度，给出多项式迭代根的存在性、算法及拓扑意义下迭代根与原映射之间的关系。进一步，针对高维情形，本项目拟研究其迭代保次类以及迭代根的计算。此外，我们将讨论共轭等价意义下映射的正规化，即在非双曲情形下考虑映射向一个高次单项式甚至是幂函数的约化，以计算更多映射的迭代与迭代根。

迭代根问题是动力系统理论的一个重要问题，它可以看作嵌入流问题的弱问题。作为一种分析离散动力系统中间过程以及离散动力系统与连续动力系统关系的有力工具，如何计算迭代根引起了人们的重视。但是想通过解析的方式给出计算方法却十分困难。Weierstrass逼近定理告诉我们任意有界闭区间上的C^0函数总可以用多项式来逼近，而多项式又是可计算的。因此，本项目关注多项式映射的迭代根问题。对于一维情形，多项式作为一类非单调映射，其非单调程度由重要指标“高度”决定。映射迭代的复杂性来自于轨道的无序性，而无序性实际上是由映射的非单调性引起的。虽然拓扑熵是描述复杂性的一个指标，但是熵为0的映射的行为可能是混沌的。本项目利用映射“高度”来描述映射的非单调性，给出了迭代过程中PM函数非单调点个数的变化规律，从而对熵为0的PM函数进行分级。具体地，我们引入了确定PM函数非单调高度的两个迭代集，即最小水平集和最大水平集。以多项式函数为例，我们证明了当水平集的“最小后代”序列和“最大后代”序列都是有限的时，多项式的非单调高度是有限的，如果上述序列其中之一是无穷的，那么多项式的非单调高度亦是无穷的。进一步，我们还运用多项式完全判别系统和实根隔离理论，以及符号计算方法给出了一种数值算法用以计算一般多项式的“最小后代”和“最大后代”，从而确定它们的高度。此外，我们讨论了共轭等价意义下映射的正规化。特别地，在非双曲情形下考虑了二维映射的约化，并利用相应的理论结果讨论了与Henon映射共轭的几类二维多项式函数的迭代根的存在性问题，补充了高维映射迭代根相关结论的空缺。除完成本项目原定计划的课题之外，在本项目的支持下，我们运用Wu-Ritt算法理论和符号计算方法研究了原点为其中心的一类拟二次三次系统和一类五次Liénard系统的局部临界周期分岔。具体给出了这些系统等时中心的阶数和弱中心的参数条件。此外，我们作出了这两类系统具有等时中心时的全局相图。进一步，我们证明了这两类系统至多可以分叉出的临界周期数目，并加入适当的小扰动证明了临界周期的局部分叉是从中心发生的。