非局部扩散趋化方程组的定性研究

Chemotaxis system describes the directional movement of cells, tending to move towards a chemically more favorable environment. The system includes two factors, namely diffusion and aggregation. The two factors jointly make the solution of the system have complex behavior. The diffusion of cells can be either governed by a random walk, or sometimes depend on the surroundings, following some probobality distributions. That is the non-local diffusion. Up to now, researchers studied extensively the effect of diffusion on the properties of solutions for the chemotaxis system of porous media type, thus it is of great importance to further investigate the qualitative properties of solutions influenced by other interaction of diffusions and aggregation. In this project, we shall investigate the chemotaxis system with non-local diffusion including: local existence, uniqueness, regularity of the solution, global existence and finite blow-up and long-time behavior of global solutions. Therefore, this project has clear biological background and mathematical significance.

趋化方程描述的是细胞在自身分泌的化学物质吸引下的定向移动。趋化方程包含扩散和聚集两方面的因素，在这两种相反机制作用下，方程的解有很复杂的性态。细胞的扩散可能是无规律的随机扩散，也可能依赖于它周围的环境，因而具有一定的概率分布，即满足非局部扩散。目前研究扩散因素对趋化方程解的性质的影响主要集中在多孔介质扩散上，进一步研究其他重要的扩散和趋化机制相互作用下方程解的定性性质是趋化方程重要的研究方向。本项目拟研究：带非局部扩散的趋化方程组解的局部存在性、唯一性、正则性，解的整体存在性，有限时刻爆破和整体解的渐近性态。开展本项目的研究具有明确的生物学背景和重要的数学研究意义。

项目背景：.本项目研究的非线性抛物型方程组来源于生物趋化现象。生物趋化性(chemotaxis)指生物体细胞对外界化学物质的刺激做出反应，具体表现为生物体沿刺激物浓度的梯度方向做定向移动。生物趋化性是生物体本能的反应，使生物体趋向有利刺激，避开有害刺激。如生物体会向着食物源充足的地方移动、逃避捕食者或者吸引配偶等。生物趋化性在病虫害防治和生物医学中也有广泛的应用，如研究白细胞细菌感染引发的炎症反应，肿瘤细胞在不同阶段的建模等。小到细胞，大到动植物有机体，都会在它们的栖息地发生移动和扩散。本项目研究了几类非线性扩散机制和化学信号生成模式对细胞种群密度的影响。.主要研究内容、重要结果及科学意义：.1）本项目研究了三维空间中带Logistic反应源和次线性化学信号生成项的Keller-Segel-Stokes模型，利用闭合讨论法证明得到了当次线性化学信号生成项满足一定的条件时，对任何的Logistic反应源，模型存在整体一致有界的古典解。这个结果揭示了非线性化学信号生成在一定程度上可以抑制种群无限增殖。.2）本项目研究了一类带非线性化学信号生成项的抛物-椭圆型拟线性趋化模型解的全局存在性和有限时刻爆破，找到了一个关于参数的临界指标2/n，证明得到了当参数小于2/n时，解是全局存在并且一致有界的，当参数大于2/n时，存在镜像对称的初值使得解在有限时刻爆破。研究结果揭示了非线性扩散和非线性化学信号生成综合作用对细胞密度的影响。.3）本项目研究了一类带有非线性扩散算子p-Laplacian扩散的趋化-排斥模型，证明了对任意大于1的参数p，模型存在全局弱解，研究的难度在于当1<p<2时扩散项存在奇性，本项目建立了弱解的框架和对应的正则性问题，对于大于1的参数p的各类情形分类进行了研究，结果揭示了p-Laplacian扩散对种群密度增长具有抑制作用。.4）本项目研究了带竞争源的完全抛物型两物种趋化模型，一方面证明得到了对于一些低能量的初值，模型存在拟爆破现象，即种群密度可以任意大；另一方面，说明了若两物种的种群密度之和在有限时刻发生爆破，则一定是在同一时刻爆破的。