反应扩散捕食模型的平衡解及分支分析

Reaction-diffusion equations are widely used to investigate many kinds of problems in physics, chemistry, and biology. The contents and methods of investigations are diverse, and the results have important theoretical and practical significance. The steady state solution is one of the basis investigations. Taking into account the close relationship between the long time behavior of the solutions to reaction-diffusion equations and its steady state solution, the research of the steady state solution to reaction-diffusion equations is very necessary. The project aims to consider the steady state solutions and bifurcation analysis of some predator-prey models with reaction-diffusion and actual backgrounds, and the contents are listed as follows: (1) By Leray-Schauder degree theory and the topology degree theory, we discuss the existence of non-constant positive steady state soluitons of the reaction-diffusion predator-prey models with the homogeneous Neumann and Dirichlet boundary conditions respectively; By virtue of bifurcation theory, we investigate the steady state bifurcation; (2) By the distribution of eigenvalues, we obtain the existence of Hopf bifurcation or double-Hopf bifurcation of (delayed) reaction-diffusion predator-prey models; Using their center manifold theorems and normal form theorys, we deduce the stability and direction of Hopf bifurcation respectively, and we carry out numerical simulations to depict our theoretical analysis.

反应扩散方程组被广泛地用于探讨物理、化学、生物学等领域的各种问题，研究的内容和方法是多种多样的，研究结果具有重要的理论和实际意义。反应扩散方程组的平衡解就是最基本的研究问题之一。考虑到反应扩散方程组的解的长时间性态与平衡解有紧密的联系，研究反应扩散方程组的平衡解就显得很有必要。本项目拟考虑了几类有实际背景的反应扩散捕食模型的平衡解以及分支分析，主要包括以下内容：（1）分别采用Leray-Schauder度理论和锥上的拓扑度理论讨论了反应扩散捕食模型的齐次Neumann和齐次Dirichlet边值问题的非常数正平衡解的存在性；利用分支理论，讨论了模型的稳态分支；（2）利用特征根分布给出了（时滞）反应扩散捕食模型的Hopf分支或者双Hopf分支的存在性；利用各自对应的中心流形定理以及规范型理论，给出了Hopf分支的稳定性以及分支方向等，且借助于数值模拟来例证我们的理论结果。

反应扩散方程组被广泛地用于探讨物理、化学、生物学等领域的各种问题，研究的内容和方法是多种多样的，研究结果具有重要的理论和实际意义。反应扩散方程组的平衡解就是最基本的研究问题之一。考虑到反应扩散方程组的解的长时间性态与平衡解有紧密的联系，研究反应扩散方程组的平衡解就显得很有必要。本项目拟考虑了几类有实际背景的反应扩散捕食模型的平衡解以及分支分析，主要包括以下内容：（1）分别采用Leray-Schauder度理论和锥上的拓扑度理论讨论了反应扩散捕食模型的齐次Neumann和齐次Dirichlet边值问题的非常数正平衡解的存在性；利用分支理论，讨论了模型的稳态分支；（2）利用特征根分布给出了（时滞）反应扩散捕食模型的Hopf分支（或双Hopf分支）的存在性；利用各自对应的中心流形定理以及规范型理论，给出了Hopf分支的稳定性以及分支方向等，且借助于数值模拟来例证我们的理论结果。