非局部扩散方程和方程组整体解的研究

近年来，在生态学、流行病学、材料学、神经网络等学科的研究中，导出了许多带有非局部作用的反应扩散系统（称之为非局部扩散系统），并引起了许多学者如H. Berestycki、P.C. Fife和H.F. Weinberger等的极大兴趣并成为热点问题。由于非局部算子与Laplace局部算子的差异性，从而导致了许多本质困难。因此建立其系统理论是非常重要而有意义的课题。本项目计划研究非局部扩散方程（组）的整体解，具体包括整体解的存在性，解关于参数的连续依赖性，唯一性，稳定性等。这里所谓的整体解是指一类对所有时间t都有定义的解。从动力系统的角度来看，抛物型方程初值问题的解仅仅是半流，而整体解实际上是方程的一个全流，利用整体解可以确切把握任何时刻方程解的信息。特别地，我们希望通过对非局部扩散方程组整体解的研究，探索出研究方程组动力学行为的新方法。

研究了一类单稳型局部退化反应扩散方程组的行波解和整体解，证明了该方程组行波解在无穷远处的指数衰减行为，行波解的单调性及平移唯一性，并证明了方程组空间独立解的存在性。 利用方程组的行波解和空间独立解建立了方程组几类新的整体解并研究了其一些相关的性质。此外，正在研究非迷向非局部扩散方程的整体解，已得到一些初步结果。