带边界条件的可积非线性波方程理论和数值算法

Mathematical physics model with boundary conditions describes the real world better, and the study of which has always been a hot issue. The contemporary achievements of nonlinear integrable system provide new ways and ideas for above research. This project studies mainly the theory and algorithm of integrable nonlinear wave equations with boundary conditions. 1. Build the initial-boundary value problem of nonlinear wave equations by the real physical demands. 2. Reduce the order, dimensionality and construct the exact solutions of integrable wave equations by theory of symmetry group and symplectic algorithm. 3. Study the physical process of nonlinear waves and achieve breakthrough for high dimensional case based on developing the theory and numerical method of RH problem. 4. Study the propagation mechanism of the nonlinear waves with boundary conditions and find the regular pattern for them, obtain the motion law by inspecting the numerical and theoretical results of the research and comparing with the existing rules of the linear waves. The project proposes nonlinear wave models with boundary to reveal the physical reality and makes innovations for both theory and numerical algorithm in mathematical physics.

带边界的非线性物理模型更能反映客观现实世界，一直是数学物理研究的热点和难点.非线性可积系统研究的深入发展为带边界可积问题提供了新的途径和思路.本项目主要研究带边界条件的可积非线性波方程理论和算法: 1. 根据现实物理现象，构建非线性波方程的初边值模型;2.利用和发展对称群理论、保结构算法和高精度数值算法，对所研究的可积波方程降阶、降维和求解;3.基于ＲＨ问题的理论，研究非线性波的物理演化过程，特别是发展RH数值方法对高维情形有所突破;4.用所得到的理论和数值模拟的结果来揭示非线性波的具有边界条件传播的机理，比对线性波的情形已有理论和规律，发现非线性波可积方程自身的运动规律，寻找非线性情形的基本特征.研究一方面为揭示真实物理客观提出带边界的非线性波模型，另一方面在数学物理理论和数值算法上有所创新。

可积系统是非线性数学物理方程研究的重要分支之一，在所有的物理分支及其它自然科学领域中都有着广泛的应用。 我们主要在以下12个方面开展科学研究.1.非零边界的Robust反散射问题算法的研究是国际研究难点和热点，国际上相关成果报道很少。根据Darboux变换给出了高阶怪波解，并将高阶怪波解写成行列式形式。Robust 反散射可以解决非零边界下怪波阶数趋于无穷时的渐近行为。2.非线性方程的初边值问题按照传统算法求解是非常困难的，我们另辟蹊径，提出了可积深度学习算法，得到了多孤子解怪波解、呼吸子解等。这为非线性发展方程的求解开辟了另外一条道路。3.光学混沌子的发现：对于厄米-高斯型定常解的初始输入，具有指数衰减响应函数的（1+1）维非局域的NLS方程的不稳定演化将演化成一种新型的自陷光束，这种光束只发生在强非局域非线性的情况下。这种新的光束称其为“混沌子”。这在光学中是一个重要的发现。4.我们发现非局域系统的怪波解可以是时间空间全局有界的，也可以产生奇点，或者是有限时间的爆破行为。其重要行为和传统的局域系统有本质上的不同。5.三乘三谱问题的研究一直是可积系统研究的富有挑战性的研究，我的得到了高阶矩阵Riemann-Hilbert 问题高阶孤子解。6.科氏力影响的广义rotation-Camassa Holm浅水波模型，我们给出有限时间内波破裂发生的充分必要条件。7.Beta系综的Tracy-Widom分布的公开问题，我们证明了Beta 系综在beta=6时的Tracy-Widom分布。8. Darboux变换求解怪波及其相互作用，得到了多分量耦合系统局域波间的混合相互作用解。9.KP约化理论和高维系统怪波解的发现；在以往的研究中，仅仅发现的是一维怪波，科学家们渴望构造出二维怪波，因为水波中怪波一定是二维的，我们成功地提出了构造二维局域怪波方法，发现KP等方程局域二维怪波。10.非局域对称.利用Backlund变换，Lax对以及Darboux变换构造非局域对称求得一些重要的非线性波解。11.调制不稳定性分析：通过达布变换方法得到高阶怪波并分析高阶色散项对怪波解频谱、波宽及振幅的影响。12.非线性工程化平台建设。