无穷维随机微分方程遍历理论及其相关课题中的一些问题

Ergodic Theory of stochastic differential equations in infinite dimensions is an important topic of stochastic analysis. This project will focuses on some problems as follows: 1.The ergodicity of stochastic 2D Navier-Stokes Equations driven by Brownian motion with degenerate multiplicative noise; 2.The ergodicity of stochastic (partial) differential equations driven by multiplicative Levy noise;2. The ergodicity of stochastic Schr?dinger equations; 3. And some problems in stochastic analysis related to the above problems, for example: extending the approaches and techniques of Malliavin calculus in infinite dimensional spaces and developing the theory of Malliavin calculus of stochastic (partial) differential equations driven by Levy processes; the problem on the time-regularity of the path of stochastic differential equations in infinite dimensions.

无穷维随机微分方程的遍历理论是随机分析领域中重要的研究课题。本项目将重点研究这个课题中的以下几个问题: 1.由Brown运动驱动的具有退化乘法噪声的2维Navier-Stokes方程的遍历性；由Levy过程驱动的具有乘法噪声随机(偏)微分方程的遍历性；2.随机薛定谔方程的遍历性；3.与上述遍历性相关的随机分析问题,例如:推广无穷维Malliavin分析的方法和技术,发展Levy过程驱动的随机(偏)微分方程的Malliavin分析理论；以及无穷维随机微分方程轨道的时间正则性等问题。

本项目研究了一些随机（偏）微分方程研究长时间及其相关课题：成果如下 a) 给出了Hilbert空间上α-semistable过程驱动的OU方程具有H-强和H-弱右连左极修正的充要条件，给出对称α-stable过程α ∈ (0, 1) 时驱动的OU方程有cylindrical 和V-cylindrical修正的充要条件；b) 对于复的Wiener-Ito随机重积分证明了其实部和虚部可以分别表示成实的随机重积分，由此可以证明复的Wiener-Ito随机重积分的四阶矩定理；c)利用modulus of convexity给出了抽象Wiener空间上薛定谔算子和扩散算子谱隙存在性新的判据和估计；d)当随机微分方程的系数不是无穷光滑时，得到了Malliavin 矩阵逆的L^p可积性，得到了半群的梯度估计和强Feller性。得到了一类带跳的随机微分方程的强Feller性; e) 证明了高斯噪声的随机3D-primitive 方程的Freidlin-Wentzell型大偏差原理；证明了乘法Levy噪声驱动的2D Navier-Stokes方程的中偏差原理； f)研究了两个随机流体力学方程的常时间行为，包括遍历性和有限维随机整体吸引子的存在性等课题。