抛物型偏微分方程的时间并行高精度算法研究

Solving partial differential equations (PDEs) has been pervasive in our everyday lives. Nowadays, computers develop very quickly, and researchers hope that the numerical solutions of high accuracy to the original PDEs can be obtained within as short running time as possible. Therefore, the design of the high-performance algorithms and the application of multi-core computers are very important. In this project, we will consider parabolic PDEs, and propose a kind of high-performance time-parallel algorithms, by combining the optimal quadratic spline collocation methods and the parareal spectral deferred correction methods together. Numerical solutions of the original PDEs can be obtained within much less running time, to achieve a desired accuracy. Besides, the new algorithm can make use of multi-core computers, which will further reduce the total running time. We will estimate the convergence rate, and provide a strategy for choosing the collocation points. Moreover, we will study the relationship between the coarse propagator and the stability region, and choose the scheme and time steps of the coarse propagator. Furthermore, we will carry out the new algorithm on multi-core computers, to demonstrate the effectiveness of the new algorithm.

偏微分方程数值求解问题已经渗透到人们生活的每个角落。随着计算机软硬件的不断发展，研究者们总希望能够在尽可能短的时间内得到问题的尽可能精确的结果。因此高性能算法的设计和多处理器计算机的充分利用就显得非常重要。本项目考虑抛物型偏微分方程（PDEs）系统，将适用于两点边值问题的最优二次样条配置法嵌入到parareal谱延迟校正方法的框架中，形成一类在时空两个方向都具有高阶精度且在时间方向上可并行的算法。这种新型算法可以充分利用多处理器计算机，大大缩短计算时间。本项目将估计这种高精度时间并行算法的收敛速度，并据此给出空间区域内配置点的选取方法。此外，我们将通过数值的方式探讨新型算法的粗算子和算法稳定域之间的关系，并由此确定粗算子的计算格式及步长。进一步地，本项目将在并行实验平台上实现这种时间并行算法，通过实验结果分析空间区域中配置点个数对算法并行效率的影响。

本项目针对线性抛物型偏微分方程，分别从高精度算法和时间并行算法两个角度进行求解。首先，本项目在最优的二次样条配置法的基础上引入延迟校正的策略，形成一种在时空两个方向都具有高阶收敛精度的QSC-DC算法；本项目分析算法的收敛阶和稳定性，并与经典的QSC-CN0算法进行比较，充分体现QSC-DC算法的优势。其次，本项目将延迟校正方法引入parareal方法中，根据使用方法的不同，分别形成PDC1方法和PDC2方法；本项目在理论上分别给出这两种方法的误差估计式，可以看出PDC2方法有更细致的误差界；本项目用数值的方式分别刻画了PDC1和PDC2的稳定域随迭代次数增加而变化的情况；运用数值模拟，我们比较了PDC1和PDC2的误差收敛情况；通过并行程序，我们展示了引入延迟校正的parareal方法相对于传统的parareal方法的优势。