若干超导材料宏观模型的数值求解方法

With type-II superconductors widely used in industry, it is very important and urgent to study the numerical methods to the macroscopic models of the superconductors for the designing of superconductive equipment. This project will base on the background of some certain macroscopic models of the superconducting materials, including type-I and type-II, studying the numerical methods to these superconductive models at the angle of the A-φ potential-based finite element method. Due to these models lack the stability of the solution, therefore, it is necessary to study the convergence analysis for the solving method and the error analysis for the numerical approximation scheme. The macroscopic model for the type-I superconductors is a singular integro-differential equation, which contains a singular integral kernel and bring the greatest difficulty into this problem. The greatest difficulty of the model for the type-II superconductors lies in a nonlinear term under the time derivative. These two terms lack the direct boundedness estimates. In addition, the nonlinear degenerate of the exponential model for type-II superconductors brings a great challenge in numerical computation. The potential-based method is one of the most important methods in computational electromagnetics, and has many advantages. Currently, works in A-φ method is all about linear Maxwell’s equations. Carried out by the A-φ potential-based method in the macroscopic models of superconductors, this research project will extend the use of the A-Φ method in the singular integro-differential equations and the nonlinear electromagnetic equations, and make a meaningful contribution to the computational electromagnetics.

随着超导体在工业界的广泛运用，研究超导宏观物理模型的数值求解方法对超导设备的设计显得十分重要和迫切。本项目以超导材料中若干重要宏观物理模型，即I型和II型超导体为背景，将从A-φ势场方法出发，研究这些超导宏观模型的数值求解方法。由于这些模型无法保证解的适定性，因此对求解方法的收敛性分析和数值逼近格式的误差分析十分必要。I型超导模型是奇异的积分微分方程，求解该模型最大的困难在于带有奇异积分核的卷积项。II型超导模型的最大的困难在于时间偏导项的非线性，以致其无法直接得到有界性估计。另外，II型超导体的幂指数模型是非线性退化的，给数值计算带来了很大挑战。A-φ法因具有诸多优点而成为计算电磁学中的重要方法。目前A-φ法在线性电磁场问题的求解中具有广泛运用，本项目通过开展A-φ法在超导模型求解的研究，推广其在奇异积分微分方程和非线性电磁场中的应用，希望对“计算电磁学”领域做出有意义的贡献。

本项目研究宏观超导物理模型的数值求解方法及其理论分析。高温超导材料在工业界的应用日益广泛，宏观超导物理模型的数值求解对超导设备的设计具有重要的指导意义。电磁场在超导材料中的传播是电场或磁场非线性扩散的过程，其物理模型是非线性的偏微分方程。特别是二型超导材料，电流和电场之间的本构关系是非线性的幂指数法则。由于超导材料电磁参数的非线性，研究该类问题的数值求解方法和相关数学理论分析具有较大的困难。针对二型超导体幂指数模型研究基于势场A-φ的有限元方法，设计全离散有限元数值求解格式，并进行相关的数学理论分析包括数值求解格式解的存在性和唯一性, 以及解的稳定性，数值解的收敛性和误差估计。由于非线参数的影响，误差估计在时间和空间上都是次优的。目前，基于势场的有限元方法的研究工作都是关于线性Maxwell方程组的，而将其应用于非线性电磁问题的求解的工作至今仍未见到相关文献，本项目的工作具有重要理论意义和实际应用价值。