Kaehler几何中典则度量的形变

Deformation of canonical Kaehler metric is an important subject in Kaehler geometry. The first aim of this project is to show that K-stable implies the existence of Kaehler-Ricci soliton on a smoothable Fano variety. We plane to deal with this problem through the Aubin's continuity method. The second aim of this project is to generalize Jian Song's arguments which concern the degeneration of negative Kaehler-Einstein manifolds on a flat family. We want to establish the degeneration of negative Kaehler-Einstein metrics with conic and cusp singularities. Next, in the view of the second aim, it is necessary to investigate the convergence of eigenvalues of negative Kaehler-Einstein manifolds on a flat family, where we assume that the central fiber has a Kaehler-Einstein metric with cusp singularities. Note that a Kaehler manifold with a cusp metric is noncompact, it may appear continuous spectrum.

Kaehler几何中的典则度量的形变是一个重要的研究课题。本项目主要对这个课题展开研究，主要有三个目标：（1）在容许有smoothable的Fano代数簇上证明K-稳定性蕴含Kaehler-Ricci soliton的存在性。我们计划用Aubin的经典的连续性方法来做。（2）将宋剑在平坦族上的负Kaehler-Einstein度量形变的结果推广到其度量具有锥奇性和cusp奇性的情形。（3）在（2）的基础上研究平坦族上的负Kaehler-Einstein流形特征值的收敛性，这里我们假定中心纤维是具有cusp奇性的Kaehler-Einstein流形。由于具有cusp奇性度量的流形是非紧的，因此会出现连续谱。

Kaehler流形上的典则度量存在性和唯一性是复几何的核心问题之一。本项目得到如下结果：在可光滑化得Q-Fano代数簇上，代数几何中的K稳定性蕴含了Kaehler-Ricci孤立子得存在性。用到得主要方法是：1.将KE情形下的多位势理论推广到Kaehler-Ricci孤立子的情形下，因为有群作用，故方程比KE情形下复杂，进而有复杂的计算。在推广的过程中最重要的是证明Mabuchi泛函的恰当性蕴含Kaehler-Ricci孤立子的存在性和唯一性。2. 需要证明在参数较小的情形下Kaehler-Ricci孤立子的存在性与正则性，这里需要用到第一步。然后要证明Mabuchi泛函和Ding泛函的一致下界，这里涉及了大量的积分计算。最后运用椭圆方程基本理论得到零阶和二阶估计，此结果还可以给流形之间的Gromov-Hausdorff收敛和极限的代数结构。3. 根据前面得到的估计证明一个参数函数的下半连续性，该结果蕴含了方程解的开性和闭性，进而能证明最终结论。在本项目中还探索了平坦族上具有cusp奇性的负KE度量的收敛性，其极限具有semi-log的奇性，该结果是将紧致情形推广到了具有cusp奇性的非紧情形。