空间依赖摄动下非线性薛定谔方程的同宿轨保持与混沌现象

本项目研究非线性聚焦薛定谔方程在耗散、空间依赖的奇异摄动下产生的同宿轨保持及混沌现象；深入分析该近可积方程混沌现象产生的机理，并利用严格的数学工具证明混沌现象的存在性。具体包括在动力系统的框架内，证明在耗散空间依赖的扰动下，该薛定谔方程具有同宿轨的保持性；进而证明其对应的马蹄和符号动力学（Bernoulli扭转）的存在性。同时，研究该耗散扰动方程出现的长时复杂瞬变现象；证明该现象对应的多脉动(Multipulse)同宿解的存在性，以及该同宿解的随机跳跃现象。此外，作为以上两方面主要研究目标的补充，还将进一步通过模拟来考察耗散扰动项中出现的空间依赖函数的变化对系统能产生时空混沌的影响。

本项目通过研究聚焦非线性Schrodinger方程的周期边值问题的同宿轨保持性质，发展不变流形在无穷维动力系统的理论及其相应的深入应用，内容主要包含以下几个方面：(1) 通过发展不变流形关于无界扰动的光滑性及法向椭圆不变流形理论，研究一维聚焦非线性Schrodinger方程在耗散无界空间依赖扰动下，在选取适当参数时，相应的系统存在双时间尺度而空间非齐次的同宿轨道。(2) 在无穷维动力系统框架下，建立了抽象可比斜积系统与其伴随单调（具有余维1的整体不变流形）系统的联系与动力学刻化。同时研究具有相平移不变的单调斜积半流整体性质及应用。(3) 研究高维三角对角系统相应非周期时间依赖线性系统的Floquet丛理论，证明其优于Sacker-Sell谱丛分解的指数分离存在性；通过建立与之对应的积分不变流形分离刻划，研究相应非线性系统双曲极小集结构刻划与渐近性态。(4) 研究了带强制势或超平方限制下的非自治二阶哈密顿系统的同宿轨存在性；以及多类系统的周期解存在性。