关于同宿轨与异宿轨存在性及混沌性态判定的某些新方法

本课题拟从几类含高次幂的三阶连续系统入手，采用双曲函数方法来获得其同宿轨与异宿轨存在的参数条件，并结合Shilnikov定理建立混沌判据。在此基础上通过典型的混沌系统的分析，建立以双曲函数为基底的空间来得到系统的某种规范型以求获得同宿轨及异宿轨存在性判定的更一般结果。在此过程中将严格验证Shilnikov定理的正确性，确定其是否需要修正。同时，一方面把以上的研究拓展到某些特殊的PDE系统，另方面通过双曲函数对混沌系统的相位给出定义及研究相位同步问题。与此同时，还探讨具有有限时间稳定性的系统，其特殊的同宿轨的存在与发生混沌形态的关联，并研究线性部分具有紧半群的非光滑的PDE系统是否存在这类特殊的同宿轨，力求建立一些新的混沌判据。

本课题的主要目标是验证关于具有C2向量场的三阶ODE系统的Shil'nikov混沌判据，从而在此基础上可研究建立新的混沌判据。Shil'nikov判据需要鞍焦点及关于它的同宿轨的存在性，或者需要两个同型的鞍焦点及关于它们的异宿环的存在性。因此，第一步我们建立了一个框架用来构造出许多具有同宿轨或异宿轨的三阶ODE系统，但发现皆不满足鞍焦点的要求。因此在第二步我们致力于揭示这种存在性的制约性，从而得到了一些必要条件。最后我们做了进一步的研究，发现了Shil'nikov判据假设条件是不相容的。.此外，我们还得到一系列关于切换系统的结果，其中包括一个混沌判据及其实现。另外也得到了一些关于脑癫痫动力性态研究的结果。