偏序集上的组合极值问题研究

偏序集是现代数学中极为普遍和重要的研究对象，是组合数学与代数和拓扑等其它主流数学分支联系的桥梁和纽带。偏序集的组合极值理论，即Sperner理论，主要研究偏序集中链与反链的各种组合极值性质。它不仅能用于解决数学学科中的诸多问题,在计算机结构和程序设计、生物遗传工程等现代高科技方面也有着十分鲜明的应用。目前各种精细的工具和艰深的技巧已被用于Sperner理论并取得了大量的研究成果，然而还有许多重要的问题没能解决。本项目的总体思路是：研究偏序集中一些有代表性的组合极值问题，做出一些有价值的新贡献；把子集格中的一些经典结果推广到更一般的偏序集中，尤其是子空间格中；进一步研究偏序集的秩单峰型性质与Sperner型性质的联系。希望在三年时间内，使我们的研究水平上一个新台阶，研究成果能对Sperner理论的完善和发展产生积极影响。

偏序集是组合数学重要的研究对象，本项目研究偏序集上的组合极值问题。我们把偏序集的对称链分解概念推广为子集格分解，从线性代数的观点系统研究了这种偏序集的秩发生函数。特别地，通过群作用给出了Narayana多项式和Eulerian多项式系数的组合解释。我们把Haines和Shahriari在子集格中关于割集的一个结果做q-模拟到子空间格。我们证明了Akiyama和Frankl猜想对某些重要的凸集成立，并指出该猜想的研究可以归结为对理想的研究。我们研究了各种各样的组合极值问题，解决了一系列公开问题和猜想，包括Sagan关于某些对称函数序列的强q对数凹性、Lundow和Rosengren关于p,q-二项式系数双峰性的一个假设，以及孙智伟关于某些数论和组合数列单调性的系列猜想。