渐近实/复双曲爱因斯坦流形及共形/CR几何相关问题

An asymptotically real hyperbolic Einstein manifold corresponds to a conformal structure at its infinity, if it is conformally compact. In this project we will study the correspondence in sense of geometry and analysis by using the idea of scattering and inverse scattering theory. There are two aspects of the correspondence. First, what special properties can a conformal structure have as the conformal infinity of some CCEM? Second, how to read the information of the interior Einstein metric from its conformal infinity? More explicitly, we will study the following problems: the relation between the conformal invariants of the conformal infinity, conformal invariants of the compactified manifold and geometric invariants of interior Einstein manifold; boundary Yamabe problem for high order GJMS operators on the compactified manifold; fractional Yamabe problem at the conformal infinity; how to use the family information of the scattering operators to determine the interior Einstein manifolds. Moreover, we will also study the complex version of these correspondence problems, because an asymptotically complex hyperbolic metric of Bergman type on a pseudoconvex domain corresponds to a CR structure on the boundary.

共形紧的渐近实双曲爱因斯坦流形在无穷远边界处对应共形几何结构。本项目将通过散射和逆散射思想研究这种对应关系的几何分析表达。对应关系包括两方面：一是作为共形紧爱因斯坦流形无穷远边界的共形几何结构所具有的特殊性质；二是如何通过边界共形几何的信息读取内部爱因斯坦流形的信息。我们将主要研究下列问题：边界共形不变量、共形紧化流形上的共形不变量和内部爱因斯坦流形的几何量之间的关系；共形紧化流形上的高阶带边Yamabe问题；散射算子所定义的分数阶GJMS算子所诱导的分数阶Yamabe问题；以及通过分数阶算子整族的性质来确定内部爱因斯坦流形的信息。另外，由于严格拟凸区域上的Bergman类型渐近复双曲爱因斯坦度量对应无穷远边界处的CR几何结构，我们也会平行地研究上述内部与边界对应关系问题在复流形上的对照。

共形紧的渐近双曲爱因斯坦流形在无穷远边界处对应共形几何结构。本项目主要研究这种对应关系的几何分析表达，以散射理论定义了无穷远边界上一族共形协变的分数阶算子，以这些算子为桥梁建立内部与边界的联系。本项目研究了这些分数阶共形协变算子的基本性质，以及如何通过边界共形几何信息反馈内部爱因斯坦度量的信息。具体包括：内部与边界几类共形不变量之间的关系以及相应的刚性定理；无穷远边界上不同阶数的分数阶算子之间的特征值比较和Yamabe常数比较以及相应的刚性定理；无穷远边界上共形不变量对内部相对体积的控制；分数阶算子的正性条件及对内部爱因斯坦度量的算子谱的影响；分数阶非局部曲率的逐点估计及在Green函数研究中的应用；一族爱因斯坦度量的紧性问题及在不同紧化模型下的等价性等。