抛物型随机偏微分方程的平稳解及其相关问题

本项目的目标是在前期工作的基础上，利用倒向重随机微分方程，研究其对应的抛物型随机偏微分方程的平稳解及其相关问题。本项目将研究系数满足多项式增长条件的抛物型随机偏微分方程的平稳弱解的存在性问题，该类方程包含随机Chafee-Infante方程和随机Ginzburg-Landau方程等一些重要的数学物理方程；并且，本项目将进一步讨论带边值条件的系数多项式增长的抛物型随机偏微分方程的平稳弱解；另外，本项目还将考察以上研究所得到的平稳解附近的Lyapunov谱，并利用它来构造随机动力系统的稳定流形和不稳定流形。为实现以上的研究目标，我们将首先研究对应的系数多项式增长的倒向重随机微分方程在一类Hilbert空间（加权的L^2(dx)空间）中的解的存在唯一性，平稳性等相关性质，并利用对应关系将这些性质转移到系数多项式增长的抛物型随机偏微分方程。

本项目针对随机偏微分方程的平稳解开展研究。平稳解是确定性动力系统的不动点在随机情形下的自然扩展。但由于外部噪声的干扰，平稳解的存在性是一个难题，特别是对非可加噪声驱动的非线性随机偏微分方程生成的随机动力系统而言更是如此，一些论文只是假设平稳解的存在性从而研究系统的其它动力学性质。本项目利用倒向重随机微分方程的解的平稳性及其与随机偏微分方程的对应，以非可加噪声驱动的系数多项式增长的非线性随机偏微分方程的平稳解为主要研究目标，该研究属于随机分析与随机动力系统相结合领域。..本项目顺利完成既定研究计划，即系数满足多项式增长条件的抛物型随机偏微分方程的平稳弱解的存在性、带边值条件情况下方程平稳弱解的存在性、随机偏微分方程生成的随机动力系统的稳定流形和不稳定流形等等。在完成原有研究计划的基础上，对一些相关问题进行了扩展研究，这些扩展研究涉及到倒向随机偏微分方程、不完备市场中的倒向随机微分方程、随机分形方程等等。项目实施期间发表论文8篇，接收论文2篇，其中3篇论文发表在杂志“Stochastic Processes and their Applications”，1篇论文发表在杂志“Journal of Differential Equations”。项目负责人在项目实施期间参与组织国际学术会议3次，国际学术会议受邀报告8次。在研究生培养方面，项目负责人在此期间共有2名硕士生顺利毕业。..项目成员合作富有成效且分工明确，在本项目的实施过程中，项目成员的研究能力显著提高。项目成员对于随机偏微分方程、随机动力系统的平稳解、倒向随机偏微分方程等研究方向有了更深入的理解和认识，积累了很多思想和方法上的经验，对于后续的研究，即倒向随机偏微分方程的平稳解和随机周期解、随机偏微分方程的随机表示等问题，有了部分思路。以本项目的部分研究为基础，项目负责人于2014年申请到国家自然科学基金委面上项目，为后续的扩展研究提供了条件。