非线性抛物型偏微分方程解的正则性

大量自然界中的现象和过程都可以由非线性发展方程加以描述。而非线性问题区别于线性问题的一个显著的特点在于它即使在初值非常光滑的条件下都可能产生奇性。自上世纪六十年代开始，对非线性抛物型偏微分方程解的奇性研究一直被人们所关注。在几何分析中，Ricci曲率流、平均曲率流的奇性研究对流形的几何拓扑结构的了解十分重要。本项目将对某些非线性抛物型偏微分方程的奇性的形成及其正则性进行深入地研究，我们注重两类奇性：爆破和淬火，对于淬火问题，我们进一步研究一般有界域上的二分现象以及不完全淬火问题解的部分正则性；同时我们还将对一类四阶抛物方程解的正则性和部分正则性进行研究；另外，在不假设平均曲率流满足所谓的"Area Contuinuity and Unit Density Hypothesis"的条件下，研究奇异集的Hausdorff 维数。因此，我们的研究既能丰富微分方程的理论，又能推动几何分析的发展。