随机偏微分方程的随机表示理论及其应用

Based on the previous works, this project aims to study the theories and applications of stochastic representation for stochastic partial differential equation. We will carry out this project by two different methods, i.e. the forward-backward doubly stochastic differential equations with Markovian coefficients and the forward-backward stochastic integro-differential equations with non-Markovian coefficients. We prove the stochastic representations for the corresponding stochastic partial differential equations which are called the stochastic representation theory with Markovian coefficients and the stochastic representation theory with non-Markovian coefficients, respectively. For the former issue, we take the stochastic fractal equation for example to study the stochastic representation theory. The stochastic fractal equation belongs to a class of stochastic partial differential equations, for which the solvability of the corresponding forward-backward doubly stochastic differential equations cannot be derived directly due to the absence of the martingale representation theory. For the latter issue, we prove the stochastic representation theory of the backward stochastic partial integro-differential equation. For this, the solvability and regularity of the degenerate backward stochastic partial integro-differential equation will be studied first. The study of the stochastic representation for stochastic partial differential equation is not only a natural extension of non-linear Feynman-Kac formula to the stochastic partial differential equation, but also can be applied to some related research fields, such as the random dynamical system, mathematical finance, etc. In this project, we will also demonstrate the applications of our theoretical results of stochastic representation to the stationary solution of non-linear stochastic fractal equation and the option pricing theory.

本项目在前期工作的基础上，研究随机偏微分方程的解的表示理论及其应用。利用Markov系数的正倒向重随机微分方程和非Markov系数的正倒向随机微分积分方程，从两个途径开展研究，给出对应的随机偏微分方程的随机表示，分别称为Markov系数的随机表示定理和非Markov系数的随机表示定理。对于前者，将以随机分形方程为例证明它的随机表示定理，此类随机偏微分方程对应的正倒向重随机微分方程的可解性无法由鞅表示定理直接给出。对于后者，将证明倒向随机偏微分积分方程的随机表示定理，在此过程中，将首先解决可退化的倒向随机偏微分积分方程的可解性和正则性问题。随机偏微分方程的随机表示不仅是非线性Feynman-Kac公式理论在随机偏微分方程中的自然扩展，还可以应用于随机动力系统、金融数学等领域，本项目还将基于以上研究结果，将随机表示理论应用到非线性随机分形方程的平稳解、期权定价等问题中。

随机偏微分方程（简记为SPDE）的随机表示，不仅是非线性Feynman-Kac公式在SPDE情况下的理论扩展，并可应用于SPDE平稳解、欧式期权定价等相关问题中，具有重要的理论和应用价值。本项目从Markov系数和非Markov系数的倒向方程两个途径出发，分别建立其与SPDE的联系，探索SPDE的随机表示中一些未解的理论和应用问题。. 本项目顺利完成既定研究计划，证明了半线性随机分形方程的随机表示定理并将其应用于构造随机分形方程的平稳解、可退化的倒向随机偏微分积分方程的随机表示定理并将其应用于期权定价问题等等。在完成原有研究计划的基础上，对一些相关问题进行了扩展研究，证明了系数多项式增长的给定初值的抛物型SPDE的弱解的存在唯一性、可退化的奇异终值的倒向随机偏微分方程非负解的存在唯一性、非Lipschitz条件下的随机递归系统的值函数是对应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的粘性解、路径依赖的随机微分策略问题的策略值的存在性等等。. 在项目执行期间，项目主要成员（教师、博士后）共计发表论文13篇，接收论文1篇，其中标注了本项目基金号的论文9篇，发表的杂志包括“SIAM Journal on Control and Optimization”（2篇）、“ESAIM. Control, Optimisation and Calculus of Variations”（1篇）等高水平国际期刊。项目负责人在项目执行期间组织学术会议3次，学术会议受邀报告11次。在研究生培养方面，项目负责人在此期间共有9名硕士生顺利毕业。项目组成员在此期间申请到国家自然科学基金委面上项目2项，青年基金1项。. 项目的研究结果推动了半线性随机分形方程、可退化的半线性倒向随机偏微分积分方程、抛物型半线性SPDE、可退化的奇异终值的倒向随机偏微分方程、非Lipschitz条件下的随机递归系统、路径依赖的随机微分策略等研究问题的进展，并将理论研究应用到随机控制、金融数学等相关领域。