基于倒向随机微分方程的理论和方法对SPDE若干问题的研究

In the study of SPDE, the theories and methods of backward stochastic differential equations play a special role in some issues. This project aims to study some types of nonlinear SPDEs, backward stochastic partial differential equations by the tool of backward stochastic differential equations. The specific research contents include: 1. prove the existence of random periodic solution of stochastic Hamilton-Jacobi-Bellman equation, and construct the random periodic solution by the optimal solution of corresponding control problem; 2. establish the nonlinear Feynman-Kac formula for stochastic Hamilton-Jacobi-Bellman equation, and apply it to the stochastic recursive linear quadratic optimal control problem; 3. establish the relationship between mass-conserving stochastic Allen-Cahn equation and corresponding backward doubly stochastic differential equation, and construct the stationary solution of stochastic Allen-Cahn equation; 4. prove the regularities for two types of degenerate backward stochastic partial differential equations with non-Lipschitz coefficients, and apply them to the optimal consumption-investment problems with stochastic differential utilities. The above studies involve the theories like regularities, random periodic solutions and stationary solutions of SPDEs, and have applications in the research fields like random dynamical system, stochastic control.

在SPDE的研究中，倒向随机微分方程的理论和方法在一些问题中起着独到的作用，本项目致力于以倒向随机微分方程为工具，研究几类非线性的SPDE、倒向随机偏微分方程。具体研究内容包括1.证明随机Hamilton-Jacobi-Bellman方程的随机周期解的存在性，并利用对应的控制问题的最优解构造出随机周期解；2.建立随机Hamilton-Jacobi-Bellman方程的非线性Feynman-Kac公式，并应用到随机递归线性二次最优控制问题中；3.建立质量守恒的随机Allen-Cahn方程与对应的倒向重随机微分方程的联系，构造质量守恒的随机Allen-Cahn方程的平稳解；4.证明两类非Lipschitz系数的可退化倒向随机偏微分方程的正则性，并应用到随机微分效用函数的最优消费投资问题中。这些研究内容涉及SPDE的正则性、随机周期解、平稳解等理论，并应用到随机动力系统、随机控制等领域。

本项目致力于以倒向随机微分方程为工具，研究几类非线性的随机偏微分方程、倒向随机偏微分方程，这些研究体现了倒向随机微分方程的理论和方法在一些随机分析问题中的独到作用。项目的研究内容涉及随机偏微分方程的正则性、随机周期解、平稳解等理论，并可应用到随机动力系统、随机控制等相关领域，兼具理论和应用价值。..本项目顺利完成既定研究计划，证明了随机Hamilton-Jacobi-Bellman方程的非线性Feynman-Kac公式，噪声依赖于空间变量的随机偏微分方程的适定性、正则性和解的周期性，质量守恒的随机偏微分方程的非线性Feynman-Kac公式及其平稳解的存在性，区域反射的倒向随机偏微分方程的适定性和正则性等等。在完成原有研究计划的基础上，对一些相关问题进行了扩展研究，证明了依赖于背景风险离散值的最优保险问题解的存在唯一性，不确定市场中非Lipschitz随机微分效用下最优消费投资组合问题的稳健控制的显示解，时间无穷、控制受限且系数随机的线性二次最优控制问题最优解，观点依赖的效用函数存在唯一性的结果等等。..在项目执行期间，项目主要成员共计发表标注了本项目基金号的论文8篇，发表的杂志包括“SIAM Journal on Mathematical Analysis”、“Journal of Differential Equations”、“Stochastic Processes and their Applications”、“Automatica”、“Applied Mathematics and Optimization”等高水平学术期刊。项目负责人在项目执行期间合作组织学术会议3次，学术会议邀请报告14次。在研究生培养方面，项目负责人在此期间共有20名硕士生顺利毕业。项目负责人在此期间申请到国家重点研发计划子课题1项，上海市科委面上项目1项。项目的研究结果推动了随机Hamilton-Jacobi-Bellman方程、随机偏微分方程的随机周期解、质量守恒的随机偏微分方程、非Lipschitz的倒向随机偏微分方程、区域反射的倒向随机偏微分方程、最优保险、不确定市场的最优消费投资、随机系数的线性二次最优控制、观点依赖的效用函数等研究问题的进展，并将理论研究应用到随机控制、金融数学等相关领域。