全非线性抛物型偏微分方程的随机解法及其应用研究

In this project we will study stochastic numerical solution methods for fully nonlinear parabolic partial differential equations and their applications. Based on the theories of partial differential equations, forward backward stochastic differential equations, stochastic martingale and scientific computing, we will study efficient second-order forward backward stochastic differential equation presentations for fully nonlinear parabolic partial differential equations, propose highly effective and accurate, and strong stable stochastic numerical solution methods for fully nonlinear parabolic partial differential equations, rigorously analyze the convergence, stability, high accuracy and efficient parallelism of the proposed methods theoretically and numerically, investigate the proposed methods for high dimensional simulations, and apply them into solving problems of stochastic optimal control, image processing, G-Brownian motion and G-expectations, etc. The study of this research project will help us to deeply understand the dynamic mechanism of fully nonlinear partial differential equations, to promote the development of the theory of nonlinear partial differential equations and their scientific computing, and to extend the applications of fully nonlinear partial differential equations in various fields.

本项目拟研究全非线性抛物型偏微分方程的随机解法及其应用：基于偏微分方程、正倒向随机微分方程、随机鞅以及科学计算的理论，研究全非线性抛物型偏微分方程的二阶正倒向随机微分方程有效表示，通过二阶正倒向随机微分方程，研究提出全非线性抛物型偏微分方程的高效、高精度、强稳定的倒向随机数值解法;严格地数值理论分析所提解法的收敛性、稳定性、高精度性和高效并行性；研究解法的高维模拟计算；研究解法在随机最优控制问题、图像处理、G-布朗运动和G-期望等全非线性问题中的应用。该研究对深入理解非线性偏微分方程的动态机制，推动非线性偏微分方程的理论和科学计算理论的发展，加快拓宽非线性偏微分方程理论在各领域的应用，都具有十分重要的理论意义和应用价值。

自然界及人类社会的复杂系统中相互作用的机制能够被非线性偏微分方程很好地定量刻画。本项目研究了全非线性抛物型偏微分方程的随机解法及其应用。基于偏微分方程、正倒向随机微分方程、随机鞅和科学计算等理论，得到了全非线性抛物型偏微分方程的二阶正倒向随机微分方程的合理表示，进而研究提出了全非线性抛物型偏微分方程的高效、高精度、强稳定的倒向随机数值解法；并严格理论数值理论分析所提解法的稳定性和收敛性误差估计。同时，在研究该项目课题的过程中，项目组成员在正倒向随机微分方程数值解、平均场随机微分方程数值解等领域取得了突破性进展；在随机偏微分方程数值解、分数阶偏微分方程等领域也取得了一定的研究成果。. 在国家自然科学基金委（No.11571206）的大力支持资助下，项目组成员通过四年的努力，非常圆满地完成了该项目的研究目标，并取得了具有国际先进水平的重要研究成果。在国内外著名刊物发表文章共计25篇（其中，SCI文章24篇），另有4篇论文已接受待正式发表。若干其他研究仍在进行中；邀请国际知名专家学者来访27人次，参加国内外相关学术会议并作报告35次，国内外学术访问16次，其中出国访问3次。共培养博士研究生9名（其中毕业博士4名，在读博士 5名，包括2名外籍留学生）、硕士研究生25名（其中毕业硕士11名，在读硕士14名，包括外籍留学生3名）。. 该项目取得的研究成果对深刻理解非线性偏微分方程的动态机制、推动非线性偏微分方程的理论和科学计算理论的发展、加快拓宽非线性偏微分方程理论在环境、航空、经济、金融、优化控制、风险度量等众多领域的应用有重要意义。该成果近年来已受到国内外学者的广泛关注，已经引发其在相关研究领域的一些重要研究，并会在一些具有重要理论和应用价值的相关领域继续引发重要的后续研究。