关于一般辛群和一般正交群无限维表示Arthur包的构造

The conjectural multiplicity formula of Arthur (1989) for the automorphic representations gives a deep description of the spectral decomposition of the automorphic forms, which is indispensable not only for the theory of automorphic representations itself, but also its applications in number theory. In this conjecture, Arthur suggested a new concept - Arthur packets, which generalizes the concepts of L-packets in Langlands conjecture. In 2013, Arthur proved his conjecture for symplectic and orthogonal groups. In some earlier works, the applicant has considered the case of general symplectic/orthogonal groups and gave their L-packets. In order to solve Arthur's conjecture in this case completely, one needs to construct the Arthur packets, which is the goal of this investigation. Unlike the case of symplectic/orthogonal groups, they can not be characterized using the representations of general linear groups. Nevertheless, in view of Moeglin's series of profound works on the Arthur packets of symplectic/orthogonal groups during 2000-2010, the applicant hope to find a new way.

Arthur在1989年提出的自守表示重数(猜想)公式是对自守形式谱分解的深刻描述，对于自守表示理论自身以及它在数论里的应用都是必不可少的。在这一猜想中，一个重要的全新概念就是Arthur包，它推广了Langlands猜想中L-包。Arthur于2013年完成了这一猜想对辛群和正交群的证明。申请人在之前的工作中考察了一般辛群和一般正交群的情形，得到了有关这类群L-包的结果。这一情形的完全解决则依赖于Arthur包的构造，而这也是申请人在此项目中所要探究的问题。和辛群，正交群不同，这类群的Arthur packets无法用一般线性群上的表示来刻画。尽管如此，鉴于Moeglin在2000-2010年间对辛群，正交群的Arthur packets做出了一系列非常深刻的工作，申请人希望能从中找出新的解决途径。

Arthur有关自守表示的重数公式猜想是朗兰兹纲领中的一个基本问题。解决这一猜想的核心是Arthur包的构造，以及证明其具有一系列调和分析上好的性质。本项目主要研究了一般辛群和一般正交群在p进域上的Arthur包的构造。我们的构造思路来自于Moeglin在辛群，正交群上的相关工作，即借助Jacquet函子将问题转化到L-包的构造。在构造中我们还利用了表示的无穷小特征。为引入这一概念我们构造了一般辛群和一般正交群在p进域上的朗兰兹对应。最终我们证明了所构造的Arthur包具有稳定性，满足内窥特征等式，且是唯一的。为了证明Arthur重数公式，我们希望所构造的Arthur包具有稳定重数一，即其上的稳定特征子空间是一维的。对一大类Arthur包我们证明了稳定重数一性质。借此我们对一些上同调表示证明了Arthur重数公式。这项工作的意义除了给出Arthur重数公式新的例子外还可以应用到志村簇的算术问题上。一个著名的例子是证明西格尔模簇的哈塞-韦依zeta函数是自守L-函数的乘积。