辛群和正交群的Pieri代数的结构

For Classical groups, by the highest weight theory, each irreducible representation can be uniquely represented by a Young diagram. The decomposition of the tensor product of two irreducible representations is described by the Littlewood-Richardson Rule. When one of the representations is indexed by a one-row Young diagram, the decomposition of the specific tensor product is described by Pieri Rule...In this project, I will study the structure of the Pieri algebras for Symplectic groups and orthogonal groups. Here Pieri algebras are named after the property that the structure of them encodes the information of the corresponding (iterated) Pieri rule. Besides that, the realization of the lowest weight module for certain groups can be found in Pieri algebras. Moreover, by theta correspondence, we can also obtain the information of corresponding branching rule in the algebras...In the project, the standard bases for the Pieri algebras will be obtained, not just the generators, and the flat deformation of the algebras. Considering the significance of the Littlewood-Richardson rule in geometry, I will also figure out the correspondent object of Pieri rule in geometry.

对于典型群，由于最高权理论，每个不可约表示都唯一对应一个杨图。两个不可约表示的张量积的分解由利特伍德-理查森律描述。当其中一个对应的杨图只有一行时，这一特殊情况的张量积分解服从皮耶里律。..在本项目中，我将研究辛群和正交群的皮耶里代数的结构。之所以命名为皮耶里代数，是因为其结构中包含相应的(迭代)皮耶里律的信息。除此之外，一些群最低权模的实现也在皮耶里代数中出现。并且，由theta对应，该代数中还可以解读出相应的分支律的信息。..本项目将给出辛群和正交群的皮耶里代数的标准单项式基的具体表达式，而不只是生成元，并给出皮耶里代数的平坦变换。同时，考虑到利特伍德-理查森律在几何中的重要意义，也将对皮耶里律的几何对应进行研究。

对于典型群，由最高权理论，每个不可约表示都唯一对应一个杨图。两个不可约表示的张量积的分解由利特伍德-理查森律描述。当其中一个对应的杨图只有一行时，这一特殊情况的张量积分解服从皮耶里律。当其中一个对应的杨图只有一列时，这一特殊情况的张量积分解服从斜皮耶里律。对于结构中包含相应的皮耶里律的信息的代数，分别称为皮耶里代数或斜皮耶里代数。在本项目中，对一般线性群的斜皮耶里代数的结构，给出了清晰的描述。..在本项目中，主要研究辛群和正交群的皮耶里代数的结构。在得出一组生成元的显式表达式后，通过皮耶里律构造恰当的带符号的日比锥，进而由标准单项式基理论，得出皮耶里代数的一组基的显式表达。这组基中每一个向量都是一个不可约表示的最高权向量。本项目通过对辛群和正交群的皮耶里律的研究，已经在多项式代数及外代数中得到辛群和正交群的皮耶里代数的实现，并且得出相应的带符号的日比锥。在具体构造生成元的过程中，大部分生成元的显式构造都已完成，一类特殊的生成元的显式构造也在进行中。..由theta对应，皮耶里代数还可以作为一些群最低权模的实现。在本项目中，由一般线性群的皮耶里代数中实现了酉群的最低权模。在此基础上，得出酉群的最低权模的一组基。..目前结果已整理成两篇文章，其中一篇已发表。参加四次国际会议，其中会议报告一次。本项目投入经费18万元，已支出11.0756万元，各项支出均未超出预算。剩余经费6.9244万元，将用于本项目后续研究支出。