一般线性群多项式表示理论中若干问题

We plan to consider the following fundamental problems in the theory of polynomial representations of general linear groups: characterization and classification of finite dimensional projective and injective modules;Jantzen filtration of Weyl modules;comparison and unification of different realizations of simple modules；generalization to positive characteristic field of the theory of category O for the general linear Lie algebras. Finite dimensional projective and injective modules constitute an important class of objects with rich structures and wide applications. De Visscher-Donkin conjecture gives a complete classification of such modules and is only proved in the lower rank cases. Study on the dominant dimension, a homological invariant which detects the sufficency of projective injective modules, of (infinitesimal) Schur algebras will provides an applicable approach to this conjecture and some related problems. Investigating the category O theory and Jantzen filtrations of Verma modules over a positive characterisitic field for the general linear Lie algebra is not only of significant theoretical meaning, but also tremendously helps both to the study of Nanhua Xi's conjecture on a realization of Jantzen filtration of Weyl modules and generalizing Brundan-Kleshchev's higher lever Schur-Weyl duality in characteristic zero. Besides the basic theoretical meaning, comparison of different realization of simple modules has also a wide application prospect in solving some concrete problems.

我们拟研究一般线性群多项式表示理论中如下基本问题：有限维投射内射模的刻画与分类；Weyl模的Jantzen滤过；单模不同实现方式的比较与统一；与一般线性李代数相关的正特征域上的范畴O理论。相关的问题也会一并研究。 有限维投射内射模是一类结构丰富且应用广泛的研究对象。De Visscher-Donkin猜测给出了这类模的完全分类，且仅在低秩情形完全证明。考察(无穷小)Schur代数的控制维数这一衡量投射内射模多少的同调不变量为研究该猜想及相关问题提供了一条可操作途径。 考察正特征域上的范畴O理论和Verma模的Jantzen滤过等不仅有十分明确的重要理论价值，而且对研究席南华的Weyl模Jantzen滤过猜想、推广Brundan-Kleshchev的零特征域上高水平Schur-Weyl对偶都非常有帮助。 比较几种不同的单模实现方式除基本理论意义外，在解决具体问题方面亦有广阔的前景。

一般线性群的多项式表示理论自1901年I. Schur开创以来，虽经百年研究依然散发着不朽的魅力，各色问题以及各类研究进展层出不穷。特别，近些年的一些研究中，一类投射内射的对象的研究得到了空前的重视。这些对象不仅在Schur-Weyl，Soergerl的结构定理中扮演着极为重要的角色，更是透过Mazorchuk-Stroppel等人关于范畴O中投射内射模的研究，Khovanov猜测以及有限维代数中关于控制维数的各式各样研究展现了丰富的内涵。本项目的一个重要组成部分是着眼于一般线性群多项式表示理论中投射内射模的研究。有别于De Visscher和Donkin采用代数群以及Frobenius核的表示理论的方法，我们侧重于从(量子)Schur代数的块出发，考虑每个块上的投射内射模，特别是这些块的控制维数。我们取得的首批成果是关于控制维数大于等于2的等价刻画，以及控制维数在导出等价下的不变性，以及(量子)Schur代数的块代数的控制维数的计算；本项目的另一个重要部分是关于Weyl模的Jantzen滤过，通过对比Verma模和Weyl模的Jantzen滤过，我们得到了sl(2)情形的一个十分有趣的结果；借助A型Weyl模的组合实现，我们尝试比较不同支配权的Weyl模的Jantzen滤过，并将之与支配权为a+b的Weyl到支配权为a和支配权为b的两个Weyl模的张量积的一个典范映射的分裂性联系在一起，进一步，我们借助Hecke代数的一类Young正交基的denominator来研究了这个典范映射的分裂性，并给出了一些情形下这些denominator的闭公式，这些工作推广了此前Donkin的一个相关结果。