可压缩Navier-Stokes(-Poisson)方程的定性研究

In this project, we are concerned with several aspects of the mathematical analysis of Navier-Stokes(-Poisson) system, including with initial data containing vacuum, we shall investigate the global existence of classical solutions to initial boundary value problem for the isentropic compressible Navier-Stokes equations; for general initial data, when the stress tensor direction is zero, the high-dimensional compressible Navier-Stokes equations of asymmetric weak entropy solution of the dynamics of global existence and asymptotic behavior, well-posedness of classical solutions of a short time when the initial density contains vacuum; the free boundary value problem of isentropic compressible Navier-Stokes equations; the free boundary value problem of nonisentropic compressible Navier-Stokes equations, focus on the existence of the symmetric solution;the free boundary value problem of isentropic compressible Navier-Stokes-Poisson equations and the large-time behavior to Navier-Stokes-Poisson equations with the free boundary value problem under the external pressure boundary condition.

本项目拟研究Navier-Stokes(-Poisson)方程的若干问题，包括高维等熵可压缩Navier-Stokes方程初边值问题含真空经典解的整体适定性问题；对一般大初值，当应力张量在边界的法向为零时，高维可压缩Navier-Stokes方程非对称熵弱解的整体存在性和动力学渐近行为、以及初始密度包含真空经典解的短时间适定性问题；等熵可压缩Navier-Stokes方程的自由边界问题；非等熵可压缩Navier-Stokes方程的自由边界问题，重点研究粘性系数依赖于密度的高维球对称解的存在性问题；高维可压Navier-Stokes-Poisson方程自由边界问题；在外压力边界条件下，粘性系数为常数的Navier-Stokes-Poisson方程自由边界问题的大时间行为等。

Navier-Stokes（-Poisson）方程的研究是当今非线性科学研究中的重点和热点之一，受到国际数学家们的高度关注，除了其极重要的应用价值外，还在于Navier-Stokes方程非常具有代表性，其本身集中了很多本质困难，若获得突破便可解决大量同类的基础性问题。Navier-Stokes方程在诸多应用科学中有着广泛的应用，如，工程物理，流体力学，天体物理，数值天气预报，大气海洋科学等。Navier-Stokes-Poisson方程描述带电电荷在电场中运动状态，包含电场和重力作用的两种形式，具有很强的物理背景。其中重力作用的Navier-Stokes-Poisson方程主要可以描述天体在有粘性和有重力时的运动状态，是比Navier-Stokes方程和Euler-Poisson方程更精确刻画星云运动的数学物理模型。. 本项目研究Navier-Stokes(-Poisson)方程的若干问题，主要包括以下内容：研究高维等熵可压缩Navier-Stokes方程初边值问题含真空经典解的整体适定性；对于等熵可压缩Navier-Stokes方程的自由边界问题，研究粘性系数依赖于密度的三维柱对称方程整体解的存在性、大时间行为。对于可压Navier-Stokes-Poisson方程，研究其自由边界问题，考虑整体解的存在性、以及大时间行为等；研究粘性系数依赖于密度的高维可压Navier-Stokes-Poisson方程的初值问题；研究粘性系数为常数的Navier-Stokes-Poisson方程自由边界问题的大时间行为等。. 本项目执行以来的研究工作按原计划执行，重点研究几类流体动力学模型的定性性态，在球对称Navier-Stokes方程外区域问题强解的整体存在性，三维等熵可压 Navier-Stokes 方程Couette 流的线性不稳定性，柱对称Navier-Stokes方程自由边界问题解的存在性，可压Navier-Stokes方程间断初值问题解的存在性以及指数稳定性分析，不可压neo-Hookean弹性动力学方程自由边界问题的先验估计，一维双极Navier-Stokes-Poisson方程Cauchy问题解的存在性，三维双极Navier-Stokes-Poisson方程初值问题解的存在性以及大时间行为等方面，取得了进展。