可压缩Navier-Stokes方程解的适定性研究

It knows that Navier-Stokes equations is a important issue in the field of partial differential equations' theroy. The study has an important application value and has been accepted widely by physics. The research on well-posedness of the solution in multi-dimensional space has been paid continuous attention by many mathematicians. In this proposal, we intend to investigate some problems on the existence of axisymmtric weak solution and classical solution in isentropic compressible Navier-Stokes equations with Vaigant-Kazhikhov model and the well-posedness, long-time behavior of classical solutions to one-dimensional nonisentropic compressible Navier-Stokes equations. The key is to get the upper and lower bounds of density function to make a great progress in this item's research. The progress will improve the theory in the field of nonlinear partial differential equations.

可压缩Navier-Stokes 方程是非线性偏微分方程理论中的一个重要课题。其研究具有重要的应用价值，已被物理学界广泛接受。关于高维可压Navier-Stokes 方程解的适定性研究一直是诸多数学工作者持续关注的问题。本项目的研究内容有：1、研究粘性系数依赖于密度的三维Navier-Stokes 方程Vaigant-Kazhikhov模型轴对称弱解及经典解的全局存在性；2、粘性系数依赖于密度的一维非等熵可压Navier-Stokes 方程自由边值问题经典解的适定性及解的大时间行为。本项目的关键点及难点在于获得密度函数的上下界，从而能在经典解的研究上取得重大进展。本项目的研究将有助于进一步完善和发展非线性偏微分方程理论。

关于三维可压缩Navier-Stokes方程的Kazhikhov-Vaigant模型解的适定性问题，项目负责人及团队早期给出了其Cauchy问题，常粘性系数时自由边值问题球对称弱解的全局存在性。由于该方程组的非线性性及其解在球心处具有极强的奇异性，该模型下球对称经典解的存在性一直是我们努力的方向。 同时我们也在考虑针对不同形式的Navier-Stokes方程组以及不同的粘性系数是否能够解决或发现其他形式解（比如，轴对称解，解析解等）的适定性问题。针对这一类问题，在该项目执行期间，我们取得了如下研究成果。.获得了三维球对称 Kazhikhov-Vaigant模型在连续边界条件下自由边值问题的整体弱解的存在性；三维可压缩Navier-stokes 方程轴对称Kazhikhov-Vaigant模型在周期区域上的全局经典解的存在性，并且得到当初始时刻不包含真空时，解在有限时间内也不会出现真空状态；一维黏性系数依赖于密度而热传导系数依赖于温度的非等熵可压缩 Navier-Stokes 方程组自由边值问题强解的存在性，以及自由边界的衰退估计；二维不可压缩Navier-Stokes方程的基于压力投影的两水平亏量校正有限元方法。.这些研究成果具有一定的科学意义，除了其自身的研究价值及贡献了新的研究成果以外，进一步推动了该方向的前进步伐并为相关领域的科学研究提供了一定的理论依据。