非零边界条件下扰动导数非线性薛定谔方程的解析和数值研究

The derivative nonlinear Schrödinger (DNLS) equation has attracted much attention due to the application in describing the Alfvén soliton excitation in plasmas. This project is devoted to the analytical and numerical study on the perturbed DNLS equation with nonvanishing boundary conditions, so as to reveal the dynamics of dark and antidark solitons under the effects of perturbations. First, we develop the direct perturbation theory for the perturbed DNLS equation with nonvanishing boundary conditions to obtain the first-order approximate perturbation solutions and the evolution equations of soliton parameters. Second, we analyze the variation of soliton amplitudes, velocities, phases and center positions with the time and space. Via the asymptotic analysis of the multi-soliton solutions, we also apply the direct perturbation theory to the study of soliton interactions. Last, based on the time-splitting spectral method and time-splitting finite difference method, we numerically investigate the dynamics of dark and antidark solitons both under constant and periodic boundary conditions, and verify the results obtained by the direct perturbation theory. This project will help to advance the development of the direct perturbation theory and numerical methods for the perturbed DNLS equation with nonvanishing boundary conditions.

导数非线性薛定谔（DNLS）方程因其可以模拟等离子体中的阿尔文孤子激发现象而被广泛关注。本项目致力于对非零边界条件下的扰动DNLS方程进行解析和数值研究，从而揭示暗孤子和反暗孤子在微扰下的动力学性质。首先，发展在非零边界条件下扰动DNLS方程的直接微扰理论，获得一阶近似孤子微扰解以及孤子参数的演化方程。其次，分析孤子振幅、速度、相位以及中心位置等物理量随时间和空间的变化情况，并借助对多孤子解的渐近行为分析将直接微扰理论应用于孤子相互作用研究。最后，基于时间分步谱方法和时间分步有限差分方法，对常数边界条件和周期性边界条件下暗孤子和反暗孤子的动力学机制进行数值研究，并为直接微扰理论的分析结果提供数值验证。本项目将有助于推动扰动DNLS方程在非零边界条件下的直接微扰理论和数值算法研究。

在等离子体中存在一种沿磁场方向传播的磁流体力学波，被称作阿尔文波。当色散效应和非线性效应达到相互平衡时，阿尔文波便会以孤子形式在介质中传播相当远的距离而保持形状不变。导数非线性薛定谔（DNLS）方程因其可以描述阿尔文孤子的激发现象而被广泛关注。本项目致力于对非零边界条件下的扰动DNLS方程进行研究，从而揭示暗孤子和反暗孤子在微扰下的动力学性质。按照计划，已经将Lou提出的直接微扰理论推广到非零边界条件下带有五阶非线性扰动的DNLS方程中。一方面，获得了一阶近似孤子微扰解，并在非零边界条件下，给出了暗孤子和反暗孤子的存在性条件；另一方面，分析了扰动参数对孤子在非零背景下的传播和相互作用的影响。研究结果显示，五阶非线性扰动可以导致孤子脉冲的压缩和速度改变，但是不影响孤子的弹性作用机制。本研究有助于推动扰动DNLS方程在非零边界条件下的直接微扰理论研究。除此以外，项目负责人还研究了广义高阶非线性薛定谔方程的动力学行为和孤子解、具有自引导Parity-Time对称势的非局域非线性薛定谔方程的暗孤子和反暗孤子相互作用行为、以及Bell多项式方法在构造二元双线性形式的非线性方程守恒率中的应用。