带有秩约束的最小二乘半定规划问题的数值算法

最小二乘半定规划问题是一类具有广泛应用背景的数学问题，在金融及工程领域都引起了关注。本项目旨在研究同时满足秩约束和线性约束的最小二乘半定规划问题的数值算法。从广义上来说，由于秩约束的存在，这是一个非凸的难题。为了求解这个难题，我们首先考虑这个问题的罚问题，然后用优化方法的思想，将原问题转换成一系列不带秩约束的凸的最小二乘半定规划问题。对于这类子问题，充分挖掘问题本身的特点，设计出易实现、高效率的实用数值算法。

本项目研究带有秩约束和线性约束的的最小二乘半定规划问题的数值解法。这类问题是非凸的，鉴于其求解难度，项目组在项目执行过程中将研究工作的重点放在求解带有线性约束的凸优化问题上去。这类问题是带有秩约束和线性约束的最小二乘半定规划问题的子问题。我们提出了求解子问题的交替方向类的实用数值算法，证明了算法的全局收敛性，并建立了算法在遍历和非遍历意义下O(1/t)的收敛速度。与已有的关于交替方向法收敛速度的文献相比，这是一项更广泛的且有意义的研究工作。该项目在实施阶段已发表SCI收录论文7篇，其代表性成果发表在SIAM Journal on Optimization，Journal of Optimization Theory and Applications等较有影响的期刊上。