几类含∞-Laplace算子的特征值问题的研究

This project mainly researches on the eigenvalue problems of infinity Laplace operator, especially the Dirichlet exterior problem and the Robin interior problems. With the help of the ideas and methods from functional analysis, geometric measure theory and PDEs, the existence of eigenvalues and eigenfunctions will be obtained by constructing super-solutions and lower-solutions, establishing the comparison principle and uniform estimates and other steps. And the dependence of the eigenvalue with respect to the domain will be studied, especially the structure of spectrum. The eigenvalue problem of infinity Laplace operator is closely related to the absolute minimizer and tug-of-war, and has been widely applied in the optimal transportation, image processing, elastic mechanics and physics etc. In the past ten years it has caused wide attention. This project will enrich the theory of degenerate and quasilinear PDEs. Therefore the research of this field is very meaningful.

本课题拟深入研究含∞-Laplace算子的特征值问题,重点研究Dirichlet外问题和Robin混合内问题。将应用泛函分析、几何测度论、偏微分方程的思想和方法,通过构造上、下解，建立比较原理、一致估计和紧性等得到特征值和特征函数的存在性。进一步研究上述几类问题的特征值和区域的依赖关系，刻画特征值的谱结构。∞-Laplace算子的特征值问题与绝对极小、tug-of-war密切相关，同时在最优传输、图像处理、弹性力学及物理等方面有广泛的应用，在过去十几年引起了广泛的关注，本课题的研究可以丰富退化、拟线性偏微分方程的理论，深入开展这一领域的研究非常有意义。

我们研究了博弈论中∞-Laplace方程的特征值以及与之相关的问题。研究了有偏差的博弈论∞-Laplace方程的初边值问题，得到了粘性解的存在唯一性，建立了解的Lipschitz正则性估计，得到了齐次方程分离变量解和行波解等特殊形式的解。讨论了一类带有传输项的抛物∞-Laplace方程，通过上下解构造闸函数，并建立一致估计，从而得到了解的存在性，用改进的Bernstein方法得到了解的梯度估计，利用抛物算子的一次齐次性以及自变量加倍的方法，建立了粘性解的唯一性和稳定性。研究了带低价项的∞-Laplace方程，当低阶项满足一定的结构条件时，通过正则化方程逼近的方法，建立一致估计，构造精细的闸函数，从而建立了解的适定性。对广义有偏差的∞-Laplace方程，利用极值原理和精细的Bernstein等方法，克服算子退化所带来的困难，在一定的光滑性条件下，通过构造适当的辅助函数，得到了光滑解的梯度内估计和全局估计、非负解和梯度模的Harnack不等式等先验估计。研究了有偏差的∞-Laplace算子的特征值问题，分别在Dirichlet边界条件和Neumann边界条件下考虑特征值问题，利用极值原理刻画了非散度型算子的主特征值，讨论了主特征值与主特征函数的存在性，进一步研究了球体上的径向特征值问题， 对相应的非齐次方程建立了解的存在唯一性，同时给出了相应的抛物型方程解的指数型衰减性估计。这些结果可以应用到很多特征值问题中，如加权特征值问题、混合特征值问题等。