椭圆算子特征值问题的研究

Eigenvalue problems for elliptic operators are basic problems in partial differential equations. It has been a hot topic in partial differential equations in recent years. In the project, the research contents are as follows. On one hand, we consider the convexity of the minimizers for convex combinations of the first two eigenvalues of the Dirichlet-Laplacian among open sets of fixed measure. On the other hand, the existence and regularity of the extremum problems for the first eigenvalue of k-Hessian operator will be studied. In the study process, we will try to discover the general methods to overcome the difficulty due to nonlinear operator. Schwarz symmetrization method, regularity theory, compactness argument will be used in the study of the eigenvalue problems for elliptic operators. Therefore, the findings and research methods of this project will enrich the theory of partial differential equations and has both theoretical values and application values. It will also provide some new views for physic problems corresponding to the eigenvalue problems.

椭圆算子特征值问题是偏微分方程中的基本问题，也是近些年来的研究热点之一。本项目拟研究以下内容：一方面，研究在具有固定体积的区域中，Dirichlet-Laplacian前两个特征值的凸组合的极小化子的区域的凸性；另一方面，研究完全非线性算子k-Hessian的第一特征值的极值问题的存在性和正则性。在研究过程中，努力探索具有一般性的方法和技巧，克服由于完全非线性算子带来的困难。拟采用的方法有Schwarz对称化方法、解的正则性估计和紧性原理等。本项目的研究结果及研究方法将丰富偏微分方程的理论，具有重要的理论价值和应用价值。同时，为与特征值问题有关的物理问题将提供一些新的观点。

本项目的主要研究内容包括椭圆方程正解的存在性，椭圆算子特征值估计，以及q-容量和挠量的Brunn-Minkowski 理论。 本项目证明了一类非局部椭圆方程正解的先验估计和存在性，给出了椭圆Laplacian算子Robin问题的前两个特征值之比的一个上界估计，证明了和q-容量和挠量相关的Lp Minkowski不等式和等周不等式，并运用 Lp Minkowski 不等式证明了变分公式。 该项目共完成论文4篇，其中有3篇已发表于《Acta Mathematica Scientia,Series B》、《Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Section A. Mathematics》、《Journal of Mathematical Analysis and Applications》等著名学术期刊上。