Boltzmann方程大尺度解的整体适定性

The Boltzmann equation, which was used to describe the motion of the rarefied gas in the collisional kinetic theory, is fundamental equation in the Statistical Physics. The global existence, uniqueness and large time behavior of Boltzmann solutions have been the key problems in the area of kinetic theory and nonlinear partial differential equations. As far as we know, the global solutions of Boltzmann equation with uniqueness are abtained in the perturbation framework around global Maxwellian. Indeed, the oscillations of those solutions have to be small enough due to the nonlinear fearture of Boltzmann collisions, and thus the vacuum is initially excluded. The project of this proposal is to develop the mathematical theory of the Boltzmann equation for large amplitude initial data in bounded domains with or without large external forces.

Boltzmann方程被用来描述稀薄气体的运动规律，是统计物理中的基本方程。关于Boltzmann方程整体解的存在唯一性以及大时间渐近行为的研究一直以来都是动理学理论和非线性偏微分方程的核心课题。据申请人所知，具有唯一性的Boltzmann方程的整体解都是在扰动框架下取得的，并且初始扰动必须很小, 因此初始真空是不被允许的。本项目拟主要研究：有界区域中带或不带大外力的Boltzmann方程的大扰动解的整体存在性、唯一性以及大时间渐近行为。

Boltzmann方程被用来描述稀薄气体的运动规律，是统计物理中的基本方程。关于Boltzmann方程整体解的存在唯一性以及大时间渐近行为的研究一直以来都是动理学理论和非线性偏微分方程的核心课题。据申请人所知，具有唯一性的Boltzmann方程的整体解都是在扰动框架下取得的，并且初始扰动必须很小, 因此初始真空是不被允许的。本项目拟主要研究：1）有界区域中Boltzmann方程的大扰动解的整体存在性、唯一性以及大时间渐近行为；2）周期区域中带大外力的Boltzmann方程大扰动解的整体存在性、唯一性以及大时间渐近行为。..本项目的研究目标、研究内容基本得到完成。 具体来说：1 ) 我们提出了新的估计方法，证明了有界区域中Boltzmann方程扩散反射边值问题一类大扰动解的整体适定性、唯一性和大时间渐近行为，论文发表在Advances in Mathematics、Arch. Rational Mech. Anal上。 2 ) 我们证明了周期区域中带大外力Boltzmann方程一类大扰动解的整体适定性、唯一性和大时间渐近行为；证明了周期区域中相对论Boltzmann方程一类大扰动解的整体适定性、唯一性和大时间渐近行为，将非相对论的结果推广到了狭义相对论的情形。 3 ) 此外，利用本项目发展的方法，我们首次建立了高维Boltzmann方程到可压缩Euler方程平面稀疏波的流体动力学极限。