Navier-Stokes方程大初始值的整体适定性及其相关问题

Over the past few decades, we have seen the more and more widely applications of theory of operators, Littlewood-Paley theory and theory of function spaces in harmonic analysis to PDE, and these applications enrich the theoretical framework of harmonic analysis in return. The technology is more fully displayed when we consider the well-posedness, blow-up criterion, etc. of equations. Combining with some new technologies in Fluid equations, this project is designed to study the global well-posedness of the Navier-Stokes equations with large initial data by using the technology of harmonic analysis. Among these, we need to consider a prior estimate, commutator estimate, etc. in different spaces infused with considerable properties of equation. Moreover, by studying and improving the method of J.-Y. Chemin, I. Gallagher and D. Tataru, we hope to get the global well-posedness for some more general equations.

近几十年来，随着调和分析中的算子理论，Littlewood-Paley理论，函数空间理论的日渐成熟，调和分析技巧被越来越广泛地应用于方程问题当中。同时，这些理论在方程中的应用也丰富和充盈了经典调和分析的理论架构。调和分析技巧在方程的适定性，爆破准则等方面都有较为重要的体现。在本项目中，我们主要拟使用调和分析的方法并结合流体方程的一些较前沿的方法来考虑Navier-Stokes方程大初始值的整体适定性。在这其中，我们需要在不同的融入更多方程性质的空间上考虑各类方程的先验估计，交换子估计等问题。除此之外，通过学习和改进J.-Y. Chemin，I. Gallagher及D. Tataru等学者发展起来的方法，我们还希望得到一些更一般方程的整体适定性。

在本项目中，我们主要使用调和分析的技巧并结合方程的一些较前沿的方法及结构性质来考虑相应方程的整体适定性。首先，通过学习和改进J.-Y. Chemin，I. Gallagher及D. Tataru等学者发展起来的方法，我们考虑了不可压Navier-Stokes（NS）方程大初始值的整体适定性。特别地，我们得到了不可压NS方程“ill-prepared”情形解在底空间为T×R^{2}时的整体适定性；其次，我们考虑了一些波动算子的估计及其在相应波动方程中的应用；此外，我们还考虑了含参变量函数空间的性质，及在相应的含参变量函数空间上几类流体方程的整体适定性问题。通过对以上问题的探究，使我们对不可压NS方程的结构有了更进一步的认识，也进一步地扩充了调和分析中的算子及函数空间框架。