流体力学及相关问题的数学理论

关于不可压缩Navier-Stokes方程，可压缩Navier-Stokes方程，Euler方程及其相关方程组整体解的存在性和不存在性，光滑解的爆破机制以及解的奇性机构等一直是流体力学数学理论和非线性偏微分方程的核心课题。其中关于三维不可压缩Navier-Stokes方程组整体光滑解的存在性或初值是具有限能量的光滑函数，局部光滑解是否在有限时间内爆破是Clay研究所公布的七大千禧年问题之一。这个问题的研究不仅具有深刻的数学意义，同时也具有强烈的应用背景。另外，非线性守恒律方程(组)，可压缩Navier-Stokes方程等也在偏微分方程理论中起着基本的作用,该类方程的最重要的特征之一就是波的传播速度依赖于波本身, 从而导致了巨大的复杂性以及产生了多种奇性结构的解,如: 激波, 疏散波,孤立子及边界层等，对这些现象的深入研究不但与力学和航空等许多领域有密切的联系,而且对现在的数学理论也是挑战。

我们首先引入一类全新的Besov-Sobolev型的函数空间，并证明了3维各向异性Navier-Stokes方程在此空间取小初值时的整体适定性，特别地，该结果证明了3维各向异性Navier-Stokes方程具有高频震荡初值的整体适定性；进一步通过引入加权Chemin-Lerner型的空间，我们证明了只要初始速度的两个分量充分小，3维各向异性的Navier-Stokes方程存在整体唯一解；此结果还被我们进一步推广于3维非齐次不可压缩Navier-Stokes，我们证明了只要初始密度充分靠近某一正常数且初始速度的两个分量充分小，三维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程在临界空间中存在唯一解。最近我们利用热算子的极大正则性定理，将此结果推广至最佳情形。.对于可压缩流体的锥体激波,我们证明了超音速激波的整体存在性及稳定性，同时证明了跨音速激波的非稳定性，从而基本回答了空气动力学数学理论中的一个公开问题（见Courant 和Friedrichs的著作<<Supersonic flow and shock waves>>中（pages 317-318）的具体描述）. 对于来自流体力学中的非线性波动方程，退化双曲方程或可压缩Euler方程组，我们还系统研究了整体解和爆破问题，取得了系列深入的工作。