不可压缩流体力学方程组的相关研究

Micro-local analysis and its applications to the fluid system is one of the main stream in the branches of mathematical analysis. Our main goal is to aim at the global regularities or finite time singularities to 3 dimensional incompressible Navier-Stokes system,which is among the seven open questions listed Clay institute at the end of the last century. Meanwhile, we shall also use the tool of harmonic analysis, especially micro-local analysis to the global the well-posedness to such related incompressible fluid system as inhomogeneous Navier-Stokes system, incompressible MHD system and son on.

微局部分析及其在流体力学方程组中的应用为当今分析数学的主流研究方向之一。我们的主要研究目标之一即是瞄准美国Clay研究所公布的7大千禧年问题之一：关于三维不可压缩Navier-Stokes方程具有能量光滑初值整体光滑解的存在性或局部光滑解在有限时间内爆破的问题。同时围绕该问题，应用调和分析尤其是微局部分析为研究工具解决其它不可压缩流体力学相关的偏微分方程问题的整体适定性，如非齐次不可压缩流体力学方程组，不可压缩MHD方程组等。

利用微局部分析研究流体力学的数学理论一直非线性偏微分方程研究的重要课题. 本项目主要应用微局部分析研究3维不可压缩Navier-Stokes方程以及相关粘性不可压缩流体力学方程组的数学理论. 对于经典的3维不可压缩Navier-Stokes 方程, 我们证明了如果对具有有限能量的光滑初值,3维Navier-Stokes 方程的局部光滑解在有限时间内爆破, 则3个速度分量必须同时发生爆破,而且一个速度分量的临界范数控制该解的爆破. 对不可压缩磁流体力学方程组, 我们首先证明了在无阻尼粘性不可压缩磁流体力学方程组在初始磁场在某个单位向量附近的摄动, 而初始速度充分小时, 该方程存在一个唯一的整体解; 进而我研究该解的大时间衰减性态. 从而在初始磁场在某个非零磁场附近证明了一个物理界长期的猜想，即在即使没有阻尼项时，3维不可压缩磁流体力学方程组仍然是耗散的。对非均匀粘性Navier-Stokes方程,我们首先证明了非均匀不可压缩粘性流体力学方程组密度块问题当两块密度为任意二正数时, 该问题存在整体解且涡块的正则性不会随着时间而改变.