具有退化奇点的微分系统的分岔与可积性

In the first section of this project, some classes of differential equations with degenerate critical points will be investigated at first. The Hopf bifurcations of some differential system will be solved and some results will be improved. The method of inverse integral factor will be developed in order to be used for computations of Lyapunov constant at high-oeder nilpotent critical point. Furthermore, the method will be used to investigate the problem of analytic center at the nilpotent critical points, classfications of analytic integrability of some system will be completed. At the end of this section, some important transformations will be maken in order to change the system with degenerate crical points into Hamiltonian system, then the bifurcations of homoclinic and heteroclinic loops will be studied by the method of Melnikov.. The second section is devoted to investigate the bifurcations of travalling wave solutions for nonlinear partial differential equations. With the help of "Three steps methods" and bifurcation theory of dynamical system and the results in first section, bifurcations and integrability at the degenerate critical point of nonlinear travlling system will be investigated. We will find the reasons of appearance of nonsmooth travelling wave solutions and the parameters conditions of existence of nonsmooth travelling wave solutions.

本项目第一部分主要对几类具有退化奇点的微分系统进行研究.首先解决几类具有三阶幂零奇点的微分系统的Hopf分支问题,改进原有的一些结果,同时将逆积分因子的方法推广，研究具有高阶幂零奇点的多项式系统的广义Lyapunov常数的计算问题,在逆积分因子方法的基础上，进一步研究具有幂零奇点的平面多项式系统的解析可积性，解决一些系统的解析可积分类问题. 其次,通过几个重要的变换将具有退化奇点的系统化简为扰动的Hamiltonian系统,再运用Melnikov方法研究系统的同宿、异宿轨分支. .作为理论的应用,本项目第二部分主要研究奇异非线性波方程行波解分支问题. 在求解奇异非线性波方程的非光滑精确解的"三步法"基础之上,利用动力系统的分支理论以及第一部分的研究结果对转化后的非线性波系统的退化奇点的类型以及分岔和可积性进行研究,分析非光滑行波解出现的根本原因以及证明其存在的参数条件.

本项目主要研究了几类多项式系统和生态系统的极限环分支问题以及同宿异宿环分支问题，同时对几类波动系统的行波解进行了研究。主要包括：.（1）几类具有退化奇点的多项式系统的 Hopf 分支；.（2）几类拟解析系统坐标原点的极限环分支以及可积性问题；.（3）几类切换系统的极限环分支问题；.（4）几类波动方程的行波解问题；.（5）几类生态系统或传染病模型的动力学行为分析。.这都是微分方程平面定性理论和分支理论中具有深刻意义的重要问题，特别是切换系统在无穷远点或退化奇点处的极限环分支问题，在以往的文献中很少进行研究，丰富了现有的分支理论。