奇点理论与可积系统

本课题的目标是通过可积系统方法研究与物理上的Landau-Ginzburg（LG）模型有关的数学问题，特别是最近由范辉军、Jarvis和阮勇斌提出的量子奇点理论。可积系统方法是Gromov-Witten（GW）不变量理论中的一种研究方法，它的基本思想是通过GW不变量的生成函数（物理上叫做配分函数）所满足的可积方程簇来刻画这些不变量。本课题的目标是试图对LG模型对应的可积系统给出一个更为明确的答案，其基本想法来自最近关于ADE型奇点以及Toda猜想的一系列工作。ADE型奇点的LG模型的配分函数满足由相应的无扭仿射Lie代数的基本表示出发构造的可积系统， 而这种Lie代数可以通过相应的quiver表示范畴经过Ringel-Hall（RH）构造得到。所以不难想象，对于一般的奇点，它对应的可积系统应该也可以通过与之有关的某个三角范畴的RH代数构造出来，这就是本课题要研究的具体问题。

本课题的目标是通过可积系统方法研究与理论物理中的 Landau-Ginzburg (LG) 模型有关的各种数学问题，特别是最近几年比较热门的 Fan-Jarvis-Ruan-Witten (FJRW) 不变量理论以及其它相关理论。..LG 模型是理论物理、特别是超弦理论中的重要研究对象。从一个 LG 模型出发，存在两种上同调场论，分别叫做这个 LG 模型的 A 理论和 B 理论。其中 A 理论的数学基础即 FJRW 不变量理论，而 B 理论则对应奇点的形变理论。..我们这里所说的可积系统方法是 Gromov-Witten (GW) 不变量理论中的一种研究方法，它的基本思想是通过 GW 不变量的生成函数（物理上叫做配分函数）所满足的可积方程簇来刻画这些不变量。本课题试图对奇点的 FJRW 等理论作类似的刻画。..我们的研究成果可以分为以下几个方面：.1. 给出了 BCFG 型 FJRW 理论的正确构造，并证明了相应的 Witten 猜想。.2. 完成了双 Hamilton 结构分类问题的存在性定理的关键步骤。.3. 发现了一般的半单上同调场论亏格二自由能的一种显式表达，猜想并证明其中最复杂的余项对于 ADE 型奇点或 P^1 轨形其实是等于零的。.4. 定义了一般的半单上同调场论的抽象 Hodge 积分理论，给出了这种 Hodge 积分的一个算法，并根据计算结果提出了若干有趣的猜想。.除此以外，我们还有一些其它方面的工作，再次不再赘述。