非线性对称锥规划的同伦算法及应用

Nonlinear symmetric cone programming problems have important applications in real world engineering such as feedback control, structural design and finance. Moreover, it contains a wide range of optimization problems such as nonlinear programming, nonlinear semidefinite programming as special cases. The nonlinear symmetric cone programming has become an important research field. The developments of efficient algorithms for solving large sized nonlinear semidefinite programming and numerical methods for solving nonlinear symmetric cone programming still need further research. In this project, by using smoothing methods and inexact methods, we will try to develop efficient homotopy methods for solving nonlinear semidefinite programming problems with large sized matrix inequality constraints. Based on the theory of Euclidean Jordan algebras and nonsmooth optimization, we will also develop globally convergent homotopy methods for solving nonlinear symmetric cone programming problems. Moreover, we will consider to do some researches on applications of linear cone programming to risk management and portfolio optimization problems. Based on the risk control of conditional value at risk, we will consider the cardinality constrained optimization model that describes uncertainty in both the distribution form and moments, and design efficient algorithms for solving such model.

非线性对称锥规划在反馈控制、结构设计、金融等领域有着广泛的应用，并且它包含非线性规划、非线性半定规划等许多经典的数学规划模型，是一个热门的研究领域。目前，大规模非线性半定规划的有效解法和非线性对称锥规划的数值解法的开发仍然是需要进一步研究的课题。本项目拟利用传统的光滑化方法及不精确计算技巧，构造求解具有大规模矩阵不等式约束的非线性半定规划问题的高效实用同伦方法；基于欧氏Jordan代数及非光滑优化理论，构建求解非线性对称锥规划问题的大范围收敛的同伦方法；此外，考虑其特殊模型线性锥规划在风险管理及投资组合中的应用。基于CVaR风险度量，在分布及矩不确定的情况下，构建具有势约束的优化模型，设计有效的求解方法。

本项目提出了解具有大规模矩阵不等式约束的非线性半定规划的高效同伦方法，首次给出了解非线性对称锥规划的大范围收敛的同伦方法，讨论了锥规划理论及方法在风险管理及投资组合中的应用，完成了项目预期目标。本项目利用极大特征值函数的光滑逼近函数，构造了解非线性半定规划问题的新同伦。此同伦维数与约束矩阵阶数无关，更适合求解具有大规模矩阵不等式约束的非线性半定规划问题；提出了解非凸集上不动点问题的同伦方法，改善了已有同伦方法的收敛条件；基于欧氏Jordan代数及非光滑优化理论，首次将同伦方法推广到了非线性二阶锥规划及更一般的非线性对称锥规划问题上：构建了同伦，在适当条件下证明了方法的全局收敛性，进一步地，设计了路径跟踪算法；在随机变量分布不确定的情况下，分别在CVaR和EVaR风险度量下，考虑了投资组合等金融问题的鲁棒优化模型的构建。进一步地，基于锥规划理论，将模型等价转化为半定规划等优化问题求解，并且利用市场历史数据分析了结果；研究了势约束的稀疏投资组合优化模型、稀疏离散优化模型的构建求解，侧重设计了该类模型的有效解法。汇总以上工作，本项目系统研究了解对称锥规划等优化问题的同伦方法，丰富了同伦方法的理论体系，研究了投资组合等金融问题的更符合实际的鲁棒优化模型、势约束优化模型的构建求解，对实际应用有指导意义。