强耦合微分方程组卡勒曼估计及其在反问题中的应用

This project concerns with Carleman estimates for a strongly coupling differential equations. We apply then this Carleman estimate to an coefficient inverse problem of a thermelastic model with memory. Currently, Carleman estimates for differential system are limited to the following way: estabishing seperately Carleman estimates corresponding to all of unknown functions in each equation, then adding them together to absorb all of coupling terms in system. But this method is no valid in strongly coupling case. This is because such a Carleman estimate obtained by this mehtod could not aborb all strongly coupling terms existing in each equation simultaneously. This project will apply a new method to estabish the pointwise and global Carleman estimates for a stongly coupling hyperbolic differential system. Furthermore, we discuss uniqueness and stability of an inverse problem of a thermoelastic model with memory under sereal kinds of measurements. In addition, we apply Carleman estimates to study the convergence of quasi-inverse method for the thermoelastic system.. This project is based on our previous work. Apperance of strongly coupling in each equation makes the traditional method no valid in studying stability of coefficient inverse problem for strongly coupling system. Resolving of related problems provides an effective method for many coefficient inverse problems in thermoelastic (viscoelastic) model.

本项目研究一个强耦合微分方程组的Carleman估计，并应用于热弹性方程组的系数反问题 。现阶段微分方程组的Carleman估计仅限于：分裂方程组中的各个方程，对每个方程建立Carleman估计再简单相加以消除耦合项，但难于应用到强耦合的方程组。这是因为两个方程的Carleman估计的简单相加无法同时两个方程中都存在的强耦合项。本项目拟采用新的方法建立强耦合方程组的逐点型及全局型 Carlema估计，进而讨论在多种测量数据下带记忆项热弹性方程组的系数反演问题的稳定性和唯一性。另外，将Carleman估计应用于研究热弹性方程组系数反演的拟逆数值方法的收敛性。.本研究是在申请人前期准备基础上的研究工作。每个方程中强耦合项的加入使传统的方法无法应用于研究这类强耦合方程组的系数反演问题的稳定性。相关问题的解决为热（粘）弹性理论中的一大批强耦合方程的系数反问题提供一种有效的途径。

许多数学物理模型最后都归结成一个强耦合的微分方程组, 例如材料科学中描述弹性材料热力耦合行为的热弹性方程组, 以及用以描述合金快速相变过程的抛物-双曲型相场方程组等。在实际应用中, 这些微分方程中的许多系数不能直接测量, 或者直接测量的成本过大, 利用可测量的相关实验数据去反演微分方程中的未知系数成为一个可行、经济的研究方法. 这就需要在数学上解决这些系数反问题的存在性、唯一性和稳定性等理论, 从而为应用和数值求解提供必要的理论基础。在反问题的理论研究中，Carleman估计占有非常重要的地位，这是由于Carleman估计为研究反问题稳定性提供了强有力的工具。. 本项目主要研究：. 1.强耦合微分方程组的Carleman估计. 通过整体考虑方程组的带权算子分解，通过精细的能量估计建立强耦合微分方程组的逐点型和全局型Carleman估计；. 2.微分积分方程（组）的核系数反演问题. 应用强耦合方程组的Carleman估计建立第三类热弹性方程组的核系数反演问题的Lipschitz稳定性；在单点测量下，证明了一类整指数积分-微分方程的核系数反演的解的存在性和唯一性，并给出了一个反演算法，数值算例表明了反演算法的有效性；对一类分数阶双曲积分-微分方程组的核系数反演问题，我们在非局部测量的条件下，证明了随时间变化的核系数反演问题的解的存在性、唯一性，即这类反问题是适定的，这与大部分反问题的不适定性有很大的不同。. 3. 强耦合方程组的系数反问题. 通过在两种不同类型微分方程(抛物方程和双曲方程) 的Carleman 估计中选取同样的势函数, 得到了合金快速相变方程组只需单个分量测量的Carleman 估计，并通过精细的估计, 建立了单系数反演问题的稳定性。值得注意的是, 该稳定性中只需要相场函数值的测量, 而不需要模型中温度的任何测量；对一类半导体器件中的漂移扩散模型，证明了由终点时刻测量反演掺杂系数的稳定性。.对强耦合微分方程组的Carleman估计及反问题的研究，对弹性材料和流体力等学科中的参数测定等研究具有重要的参考价值，也对其他强耦合模型的系数反演问题研究提供一个新的思路和方法。