约束分拆函数的同余性质

Congruence properties for partition functions, as one of the most important objects of the theory of partitions, is an interesting and far-reaching subject in combinatorics and number theory. It has been studied extensively for the last century or so, beginning with the discoveries of Indian genius mathematician S.Ramanujan. At the same time, there appears many restricted partition functions, such as overpartiiton functions, broken k-diamond partition functions, spt functions. In recent years, the study on congruence properties for restricted partition functions attracts a lot of experts and scholars' attention, represented by G.E. Andrews, and has become one of the hottest topics in combinatorics and number theory. ..In this project, we mainly study the congruence properties for certain restricted partition functions by using the theory of modular forms as well as the classical combination methods. The specific contents are as follows..(1) We will study the congruence properties for restricted partition functions on prime modulus..(2) We will study the congruence properties for restricted partition functions on the power of prime modulus..(3) We will further explore a systematic method in order to prove the congruence properties for restricted partition functions with some specific structure.

分拆函数的同余性质作为分拆理论最重要的研究内容之一，是组合和数论中的一个有趣且深刻的前沿课题。继印度天才数学家S.Ramanujan的发现，近百年来这一课题得到了广泛的研究和发展。与此同时，衍生了大量约束分拆函数，如overpartition函数、broken k-diamond分拆函数、spt函数。近年来，约束分拆函数的同余性质研究得到了以美国科学院院士G.E.Andrews教授为代表的大量学者的重视，成为当今组合数论界的一个研究热点。..本项目主要利用模形式理论和经典组合方法来研究约束分拆函数的同余性质，具体内容包括：.⑴ 研究约束分拆函数关于模数为素数的同余性质；.⑵ 研究约束分拆函数关于模数为素数幂次方的同余性质；.⑶ 寻求证明具有特定结构的约束分拆函数同余性质的系统性方法。

分拆理论是组合学和数论中的一个重要且深刻的研究内容，约束分拆函数的同余性质研究又是分拆理论中的一个备受关注的前沿课题。本项目主要利用模形式和theta函数理论对overpartition函数的同余性质进行了研究，具体研究内容如下：.(1) 通过建立$\overline{p}(3n)$生成函数与Ramanujan theta函数$\phi(q)^5$之间模3的同余关系，并对其进行2-dissection、3-dissection分解，我们得到了overpartition函数模3的两个同余关系式。.(2) 通过对$\overline{p}(3n)$生成函数模3的同余关系式进行4-dissection分解，并迭代上面两个同余关系式，我们证得了overpartition函数模3的一类具体同余式。.(3) 依据$\phi(q)^5$是半整数权重模空间中的一个Hecke特征形的事实，并对其作用Hecke算子，再次迭代上面两个同余关系式，证得了overpartition函数关于特定素数l模3的一类新的无穷类同余式。对参数赋值我们可以得到overpartition函数模3的大量新的具体同余式。.(4) 利用数论和q级数基本技巧，我们得到了overpartition函数模3的关于任意奇素数l的无穷类同余式。对参数赋值我们可以得到大量具体同余式。.(5) 通过建立$\overline{p}(3n)$生成函数与$\phi(q)^5$模9的同余关系式，并结合模形式理论，我们进一步证明了overpartition函数模9的对于满足限定条件的奇素数l及正整数n的算术同余式。同样地，对参数赋值我们可以得到大量具体同余式。.(6) 利用生成函数的基本分解技巧，我们建立了$\overline{p}(96n+12)$生成函数与Ramanujan theta函数$\psi{q}$之间模27的同余关系式，进一步借助Cui和Gu给出的$\psi{q}$的p-进制分解式，我们证得了overpartition函数关于任意奇素数模27的一个无穷类同余式。对素数赋具体数值我们可以得到大量具体同余式。