条件分拆函数的同余性质和组合性质

The theory of congruence properties and combinatorial properties of restricted partition functions is one of the most active fields in contemporary combinatorics, q-series and number theory. This project focuses on using algebraic combinatorics and computer algebra to investigate congruence properties and combinatorial properties of broken k-diamond partition functions, k-colored generalized Frobenius partition functions and t-core partition functions. It includes the following aspects: (1) by employing the theories of theta function identities, modular forms, quadratic residues and difference equations, we will discover infinite families of congruences, congruences modulo higher powers of primes and strange congruences for broken k-diamond partition functions and k-colored generalized Frobenius partition functions, and prove some related conjectures; (2) by utilizing the Hardy-Ramanujan cycle method and the theory of Lehmer's error estimations, we will establish the asymptotic formulas for broken k-diamond partition functions, k-colored generalized Frobenius partition functions and t-core partition functions, and prove some related inequalities, and present characterizations of combinatorial properties for the three restricted partition functions.

条件分拆函数的同余性质和组合性质是当前组合数学、q-级数和数论的研究热点之一。本项目旨在利用代数组合方法和计算机代数研究broken k-diamond分拆函数、k-colored generalized Frobenius分拆函数和t-core分拆函数的同余性质和组合性质。主要包括：（1）利用theta函数恒等式、模形式、二次剩余和差分方程理论，发现broken k-diamond分拆函数和k-colored generalized Frobenius分拆函数的无穷族同余关系、模素数高次幂的同余关系和奇异型同余关系，证明相关猜想；（2）利用Hardy-Ramanujan圆法和Lehmer误差估计理论，建立broken k-diamond分拆函数、k-colored generalized Frobenius分拆函数和t-core分拆函数的渐进公式，证明不等式，刻画三类分拆函数的组合性质。

条件分拆函数是当前组合数学、q-级数和数论的研究热点之一，该课题吸引了包括沃尔夫奖获得者Dyson教授和美国科学院院士Andrews教授在内的众多知名学者的研究兴趣。.按照研究计划，我们主要对条件分拆函数的同余性质、组合性质和q-级数的傅里叶展开系数符号的周期性等问题展开了研究工作，取得了较好的研究成果，在《Proc. Royal Soc. Edinb. Sec. A Math.》、《J.Number Theory》、《Acta Arith.》、《Ramanujan J.》等期刊上发表了研究论文21篇，解决了多个猜想。其中有1篇论文入选ESI高被引论文。.在条件分拆函数同余性质方面，我们刻画了整数分拆理论中几类重要的条件分拆函数的同余性质，例如overpartition、broken k-diamond 分拆函数、广义k着色的Frobenius分拆函数、t-core和t-regular分拆函数。我们给出统一的方法建立某些分拆函数的非平凡非线性同余关系和包含无穷多个素数的无穷族同余关系。作为应用，我们建立了某些条件分拆函数的新的非线性同余关系，如Andrews院士提出的spt分拆函数。此外，我们还解决了由新加坡国立大学教授Heng Huat Chan、新南威尔士大学教授Hirschhorn、宾州州立大学教授Sellers等人提出的多个猜想。在研究过程中，我们主要利用了Newman理论、theta函数恒等式、theta函数的分块公式、二次型理论和Lucas序列的性质。.在组合性质方面，我们给出统一的方法研究了n次根号下函数列的组合性质。该方法主要依赖于这个函数列前后项比率的上界、下界和一个中间函数。我们还给出了一个方法用于构造这些上界、下界和中间函数。作为应用，我们刻画了某些n次根号下函数列的组合性质，解决了Sun提出的多个猜想。.在q-级数的傅里叶展开系数的性质方面，我们利用Ramanujan’s theta函数恒等式和计算机软件包，研究了某些无穷乘积的傅里叶展开系数符号的周期性。该方法不但能对已知的结果给出统一的证明方法，还能够发现新的结果。此外，我们还利用theta函数的(p,k)参数公式和q-级数恒等式，研究了表示整数为平方数之和的表示方法数与表示整数为三角数之和的表示方法数之间的关系，从而证明了多个猜想。