基本超几何恒等式和模等式的机器证明

基本超几何恒等式的证明是q级数领域研究的一个核心课题，其证明方法包括代数方法、数论方法、机器证明方法、算子方法和组合方法等。本项目将继续研究和改进机器证明中的经典算法，针对无穷和等式、多重和等式、特殊函数恒等式等特殊基本超几何恒等式的机器证明展开深入研究。进一步地，将机器证明中递推的思想与算子证明中参数增广和组合证明中构造迭代双射的思想相结合，以寻找机器证明中新的观点和方法。. 模等式的证明往往是极其困难的，目前已知的模等式的证明方法均为构造性证明，包括生成函数、组合结构、模形式的构造等。其中，模形式为模等式的证明提供了强大的理论背景和工具。Sturm定理的提出为模等式的机器证明奠定了基础，本项目将以分拆函数的同余恒等式为切入点，以Radu的工作为基础，继续研究更一般的模等式的机器证明方法。

本项目旨在研究基本超几何恒等式和模等式的机器证明方法，这是组合数学和q级数研究领域的核心课题之一。项目组取得的主要成果包括：在机器证明方面，利用Zeilberger算法的推广并结合Abel引理，部分解决了德国数学家Spieß提出的包含调和数幂次的不定和的猜想。在组合结构和组合双射的研究方面，进一步推广了Euler分拆定理，给出了分拆限制部分重复次数的相关结论；利用Foata第一基本变换，给出了Fibonacci字上的Euler对；提出了计算生物学中m-正则线性stack的计数方法，推广了Muller和Nebel关于广义RNA二级结构的结果；利用组合邻差法，解决了美国科学院院士G.E. Andrews教授提出关于q-little Jacobi多项式的一个公开问题。在模等式的证明方面，利用模形式理论并以计算机辅助，推导得到了overpartition、多重分拆函数和具有指定项的分拆函数满足的一系列同余性质。