超几何型函数的恒等式和不等式

The main purpose of this research project is to explore and investigate new fundamental properties of special hypergeometric functions, which include the biggest part of common functions, belonging to different fields of mathematics, from combinatorics to partial differential equations as well as applied fields of mathematical science. In the process of the research I am planning to work with my collaborators on generalized Turanians, inequalities for Fox-Wright functions, identities for generalized hypergeometric functions and q-hypergeometric functions. Investigate Turanian sign consistency for formal hypergeometric series as single or multiparameter shift functions. Following upon, proof new estimates e.g. for Turanian functions itself and their derivatives, where possible receive their q-analogues. Investigate cases when Pochhammer symbols from previous tasks could be substituted with multiplied Pochhammer symbols, instead of Turanians use higher-order determinants and relax parametric shift discrete condition in previous results..As the expected results we are planning to develop general theory for Turanian sign consistency on generalized formal hypergeometric series, which comprise all mentioned sufficient conditions and theoretical points.

本研究项目的主要目的是探索和研究特殊超几何函数的新基本性质，这些特殊超几何函数包括属于不同数学领域(从组合数学到偏微分方程)的公共函数，以及数学科学的应用领域. 在研究过程中，我计划和我的合作者一起研究广义Turanians、Fox-Wright函数的不等式、广义超几何函数和q-超几何函数的恒等式。研究单参数或多参数位移函数形式超几何级数的Turanian符号一致性。接着，验证新的假设，例如Turanian函数及其导数. 我们还计划将标准的阶乘幂替换为多个阶乘幂，以及在可能的情况下求出q-类比式。研究阶乘幂可以被多个阶乘幂替代的情况,使用用高阶行列式代替Turanians, 发现的算数方法减弱的参数位移离散条件. .我们预期的结果是将广义形式超几何级数上的Turanian符号一致性的一般理论包括上述所有充分条件和理论要点进行发展以及建立概念理论。

在这个研究项目中，我们探索和研究了特殊超几何函数的新的基本性质（包括最大的一部分普通属于不同的数学领域函数，从组合数学到偏微分方程以及数学科学的应用领域。基本超几何级数(q-级数)几乎可以跟踪到经典欧拉（Euler）和雅可比(Jacobi)作文，在这些论文数学家已经开始在某些特殊情况下考虑的标准级数..海涅（Heine）在1846年（大约比高斯提出普通超几何级数晚了30年）提出了一些一般级数。自然地，在这174年的历史中，人们发现了大量以变换和求和公式形式存在的恒等式，这些恒等式与数论、正交多项式、数学物理和许多其他领域有着深刻的关系。我们在这个研究项目所得到的结果跟最近Karp, Feng和Yang发现的超几何恒等式的q-扩展，以及铃木提出的给海涅函数的恒等式有比较密切的关系。同时，Ebisu、Beukers、Jouhet、该项目的主要研究员和Karp在这个领域得出了一些早期的结果。.我们进一步探讨了我们的主恒等式推出的各种结论，其结论提出几种新的终止和非终止广义基本超几何级数的多项关系。我们想特别强调的是，本研究项目的结果会包含Bailey和Slater所研究的基本超几何函数。此外，我们给出了一种合流性结果，并列出了一些比较明确的例子。关于Turan不等式（作为参数函数的对数凹度），我们得到了非中心β分布和素数β分布以及多个阶乘多项式中的某些级数的中间结果。.在我们的研究中，我们主要使用实分析和广义超几何函数经典研究方法（例如相邻关系和求和公式）以及它们的q扩展，此外我们还使用复数分析的一些经典定理。