基本超几何级数恒等式的研究

Basic hypergeometric series (i.e. q-series) identities, have important theoretic value and wide-ranging application in combinatorics, number theory, theoretical physics and computer algebra. With the development of basic hypergeometric series theory, it is particularly significant to find new q-series identities at present. Recently, the Abel lemma on summation by parts, as a classical analytic weapon, has successfully been used to investigate summation identities of basic hypergeometric series. This approach is direct and elementary enough to be independent of other known formulae. The main purpose of this project is to explore systematically the applications of Abel’s lemma on summation by parts to basic hypergeometric series. By introducing the “remainder term” to the original lemma, we shall mainly investigate transformation relations between q-series for establishing new transformation and summation formulae. Furthermore, we shall also investigate how to utilize Abel''s lemma to derive faster convergent series, especially infinite series expressions for classical mathematical constants, such as pi and Catalan constant.

基本超几何级数（q-级数）恒等式，在组合数学、数论、理论物理及计算机代数等领域具有重要的理论意义和应用价值．随着基本超几何级数理论的不断发展，发现和证明新的q-级数恒等式尤为重要．经典分析工具Abel分部求和引理最近被用于基本超几何级数求和公式的研究，该引理应用时不依赖已有公式，从级数本身出发，证明过程更加简捷．本项目的主要目的是深入探索Abel分部求和引理在基本超几何级数理论中的应用, 通过在原引理中引入“余项”，着重研究级数间的变换关系，建立新的基本超几何级数变换公式与求和公式，并进一步探讨它们在无穷级数加速收敛方面的应用，特别是一些重要数学常数的无穷级数表示，比如pi和Catalan数．

基本超几何级数与超几何级数是特殊函数论的重要分支，其在组合数学、数论、理论物理及计算机代数等领域具有重要的理论意义和应用价值。本项目主要利用经典分析方法Abel分部求和法与一些组合计算技巧研究涉及基本超几何级数与超几何级数的组合恒等式。项目目前已完成两项工作：1. 利用“带余项的”Abel分部求和引理研究二次超几何级数部分和，给出几个不同寻常的二次级数变换公式，由此进一步获得了一些新的7F6二次级数变换公式, 特别是推广了Watson与Whipple在1925年分别建立的3F2级数求和公式；2. 利用q-导数算子和部分分式分解方法研究两类带有三个自由参数的q-二项式变换公式，得到几个重要的二项式求和公式的q-模拟。