模方程及组合方法在着色分拆恒等式证明中的应用

Colored partition identities are important parts of partition theory. It is important to the applications in the field of theoretical physics and number theory. Relating to their core issue is the discovery and proof of identities for partition with distinct colors. Sandon and Zanello provided a general and unified combinatorial framework for a number of colored partition identities in Journal of Combinatorial Theory Series A in 2013, and they further listed 30 interesting identities as conjectures, which became a hot issue concerned by scholars at once. This project aims to utilize modular equation theory to look for and prove more colored partition identities, and give the proofs of these identities using combinatorial method. Then we try to research the combinatorial structure of new colored partition identities by establishing bijection, and discuss the combinatorial framework of new colored partition identities to discover and prove a series of new partition identities. .The research results of this project is conducive to a deep comprehension of the relation of modular equation theory, combinatorics bijection and partition identities, which can enrich research results of colored partition identities, and promote the development and improvement of systematic partition function.

着色分拆恒等式是分拆理论的重要组成部分，在理论物理及数论等问题上有重要的应用，有关它们的一个核心问题是着色分拆恒等式的发现与证明。Sandon 和Zanello于2013年发表在Journal of Combinatorial Theory, Series A上的文章提出了一个包含一类分拆恒等式的组合框架，进一步猜测出30个分拆恒等式，顿时成为学者们关注的热点。本项目将利用模方程理论寻找和证明更多的着色分拆恒等式，再利用组合方法证明这些恒等式，力争通过构造双射来研究新着色分拆恒等式的组合结构，并探讨与它们相关的组合框架，从而发现和证明一系列新的分拆恒等式。. 本项目的研究成果将有助于加深理解模方程理论、组合双射与分拆恒等式之间的联系，丰富着色分拆恒等式的研究结果，促进分拆函数成套理论的发展与完善。

着色分拆恒等式的发现与证明是着色分拆恒等式理论以及分拆理论的重要组成部分，在理论物理及数论等问题上有重要的应用。.本项目就分拆函数相关问题进行了有序的研究。首先，负责人核查了Ramanujan’s Notebooks (Part III)里面的模方程，证实了其中的模方程所对应的着色分拆恒等式皆已被项目负责人和其他科研人员给出并证明。同时，我们深入了解了theta函数恒等式与分拆发生函数之间的相关性与运算技巧，并且借鉴B. Kim利用定义“Crank”的思想，针对某些着色分拆函数定义新的统计量rank或crank的模拟形式，从而从组合证明的角度给出某些分拆模素数5，7等的同余问题的证明，该部分工作整理成文章"Rank and crank analogs for some colored partitions"，发表于 Electronic Journal of Combinatorics 。此外，负责人与图像处理数学问题方面的研究人员合作，采用组合学的方法，对适当地选取恢复模型参数的相关问题进行了研究。另外邀请国内外组合数学方向的专家来校学术交流与探讨。在讨论过程中，还发现并证明了q-Catalan数相关的q-级数恒等式以及其退化的Catalan求和公式的推广形式，该部分工作整理成文章“”Identities on Extended Catalan Numbers and Their q-Analogs” 发表于期刊Graphs and Combinatorics。着色分拆问题是一个值得长期探索的课题，本项目的研究成果会对建立分拆函数成套理论产生积极的推动作用。