非局部相场方程的保持能量稳定与最大模稳定的高效数值方法

This project is devoted to the energy stable and maximum-norm stable numerical methods for a class of nonlocal phase field equations. Phase field equations have been used in various fields involving the interfaces, ranging from physics, chemistry, biology, image processing and so on. Compared with the classic phase field equations, the nonlocal ones perform better in describing the sharp interfaces in structures. In this project, we mainly consider the exponential time differencing (ETD) methods by combining with the appropriate linear splitting technique, develop the fully discrete numerical schemes, and analyze the energy stability and maximum-norm stability. By further studying the basic properties which are necessary for the operators in the ETD schemes to preserve the energy and maximum-norm stabilities, we approximate the operators in the ETD schemes to derive a series of related numerical schemes preserving the energy and maximum-norm stabilities. By the energy approach, we prove the error estimates and the asymptotic compatibility of the ETD schemes and their approximated schemes. Based on the applicant’s previous researches, this project presents the efficient computing methods for the numerical simulations of nonlocal phase field equations and more complicated practical problems.

本项目研究一类非局部相场方程的保持能量稳定性与最大模稳定性的数值方法。相场方程在物理、化学、生物、图像处理等涉及界面问题的多个领域都有重要应用，其中非局部相场方程相较于经典相场方程对结构中陡峭界面的描述更具优势。本项目主要考虑指数时间差分方法，结合适当的线性分裂技术，建立全离散数值格式，并分析格式的能量稳定性与最大模稳定性问题。通过进一步研究数值格式中各个算子保证这些稳定性所需满足的基本性质，我们对指数时间差分格式中的算子函数采用保持这些基本性质的算子逼近，继而导出一系列相关的保持能量稳定与最大模稳定的数值格式。使用能量分析方法，我们证明指数时间差分格式及其逼近格式的误差估计以及与相应局部方程的渐近相容性。本项目是在申请人之前研究工作基础上的进一步推广与深入，为非局部相场方程的高效数值模拟提供行之有效的方法，并为更复杂实际问题的数值模拟提供有效的计算工具与研究思路。

本项目研究一类非局部相场方程的保持能量稳定性与最大模稳定性的数值方法。相场方程在物理、化学、生物、图像处理等涉及界面问题的多个领域都有重要应用，其中非局部相场方程相较于经典相场方程对结构中陡峭界面的描述具有更高的灵活性。本项目主要考虑基于指数积分因子的时间积分方法，结合适当的线性分裂技术，建立全离散数值格式，并分析格式的能量稳定性与最大模稳定性问题。对于满足最大模上界原理(MBP)的二阶方程，我们建立了具有二阶精度的指数时间差分格式，证明了格式无条件保持MBP与能量稳定性。基于Runge-Kutta方法，我们给出了具有四阶精度的保持MBP的数值格式。为了研究MBP的更本质的特征，我们基于已有成果建立了一般性框架，给出了抽象的半线性抛物方程满足MBP的充分条件，这个框架包含很多已知的具有MBP的方程，为进一步研究类似相场模型提供了理论支撑。对于不满足MBP的高阶方程，我们引入适当形式的稳定项，建立了具有一阶与二阶精度的一系列线性数值格式，通过高阶相容性估计与稳定性分析，证明了数值解的收敛性与最大模稳定性，并给出能量稳定性分析。为了保证能量稳定性，以往的研究工作中通常需要对方程中的非线性项附加某种光滑性假设，而最大模稳定性的结论可以让我们不再需要这样的假设，从而为能量稳定性以及其他正则性的理论分析提供了便利。