奇异非线性微分方程定性稳定性与高效数值优化方法研究

This project will study the qualitative property and stability of five kinds of singular nonlinear differential equation on the basis of the existing mathematical methods and analysis tools. Due to the weak singularity，it is difficult to study the existence and stability of positive periodic solution to the second order differential equation.We plan to get cyclical, unconditionally stable and efficient numerical solution by using multiple quadratic trigonometric interpolation method. Next,verify its effectiveness by experiment.The research objectives are to get the results of necessary and sufficient conditions, or the best conditions by weakening technical condition especially the symbol as the case of a weak singularity, also it can promote stability method and seek the unified conclusion about systems with different mathematical structure.In the face of growing data information, effective numerical analysis has become the information science, mathematics, computer science, statistics, application engineering and other multi-disciplinary research hot spot. The study has extensive practical background and trong application value, also it is a new basic work in the field of mathematics.

本项目将在借鉴现有的数学方法和分析工具的基础上，着重讨论五类基本的奇异非线性微分方程（组）的定性与稳定性问题，鉴于研究弱奇性场合下半正的二阶微分方程（组）周期正解的存在性与稳定性的困难性，本项目还将采用多二次三角拟插值的方法得到具有周期性、无条件稳定、高效的数值解并实验验证其有效性。我们希望实现以下研究目标：在弱奇异场合下弱化技术性条件特别是符号条件，突破方程类型限制，建立充要条件或者最优条件、推广稳定性方法以及发现新现象与寻求具有不同数学结构的各系统的统一性结论。面对与日俱增的数据信息，有效的数值分析已成为当前信息科学、数学、计算科学、统计学、工程应用等多学科的研究热点。此项研究具有广泛的实际背景和极强的应用价值，同时也是分析数学领域里的一项崭新的基础性工作。

本项目主要在借鉴现有的数学方法和分析工具的基础上，着重讨论了几类基本的奇异非线性微分方程的定性与稳定性问题，鉴于研究弱奇性场合下半正的二阶微分方程周期正解的存在性与稳定性的困难性，在弱奇异场合下弱化技术性条件特别是符号条件，突破方程类型限制，通过细致分析Green函数的性质，利用Schauder不动点定理或者锥不动点定理来处理半正弱奇性问题，建立充要条件或者最优条件、推广稳定性方法以及发现新现象与寻求具有不同数学结构的各系统的统一性结论。.随机微分方程作为非线性微分系统领域一个新的分支，在上述研究基础上，本项目还讨论了由常微分方程演化而来的随机传染病动力系统的平稳分布和周期解的存在性，探讨了单群体随机SIR 和SIS 等模型的平稳分布和遍历性、具有饱和发生率的随机SIR流行病模型的阈值行为和周期解、具有饱和发生率和Logistic增长的随机SEI传染病模型的动力学行为。我们利用随机比较定理和随机Lyapunov 方法给出在环境白噪声扰动下的常系数多群体随机传染病模型(SIRS，SEIR，SEIRS等)系统正解的存在性，通过定性分析和数值模拟相结合的方法给出随机传染病模型存在平稳分布的充分条件。.最后，关于数值优化问题，基于模型预测控制技术，利用三阶Taylor型差分公式离散化MPC的约束条件，我们提出一个新的投影积极集共轭梯度算法求解最优控制器。针对时变非线性优化问题，我们提出一类抗噪型归零动力系统，给出一种连续型抗噪归零神经网络模型。结合单调递增奇激活函数，我们提出一类广义抗噪型归零神经网络模型。从控制角度出发，将抗噪型归零神经网络模型求解问题转化为非线性控制系统求解问题，通过设计广义PID控制器，实现时变非线性优化问题快速求解。根据Lyapunov稳定性定理，研究该类网络的渐近稳定性和指数收敛性。我们通过严格理论证明了算法的可行性和全局收敛性。数值结果表明，所提抗噪型归零神经网络模型求解时变矩阵问题是可行的、有效的。我们在上述研究基础上，将研究结果应用到实际观测数据的建模拟合分析。