Siegel 模函数的中心点处取值问题的研究

Siegel modular forms often are given as a first example of holomorphic modular forms in several variables. The theory meanwhile has a long traditional background and is a very important and active ares in modern research, combining in many nice ways of number theory, complex analysis and algebraic geometry. . Estimates of the values of L-functions at the central points are subject of intensive studies in various aspects. We will study the values of three kinds of Siegel modular function at the center points in our project. The Koecher-Maass series has significant applications in proving sign change results for the Fourier coefficients of Siegel cusp forms. First, we will study the nonvanishing problem for Koecher-Maass series attached to Siegel cusp forms of weight k and degree n in certain strips on the complex plane. Second, when the degree of F is two, we will study the nonvanishing problem of the modular function of F. At the end of this project, we will learn the values of the central points of the twisted zeta functions which were introduced by Bocherer Conjecture. The research of the above problems will make the theory of Siegel modular forms more richer.

Siegel 模形式是多个复变量自守函数最重要的一个例子, 它的理论具有很长的历史背景. 它和其它一些好的数论工具 (复分析, 代数几何) 一样, 一直在当代数论研究中处于非常重要的地位. L-函数在中心点处的取值问题在很多研究方向中都是很深刻的研究课题. 在证明 Siegel 模形式的 Fourier 系数的变号问题中 Koecher-Maass 级数起到了非常重要的作用. 在本项目中我们将研究 Koecher-Maass 级数在临界带型区域内的非零问题, 以及当亏格 n=2 时, 由特征型 F 生成的模函数的非零问题. 本项目的另一个研究工作是研究 Bocherer 猜想中的 twisted zeta 函数在中心点处的取值问题. 对这些问题的研究将使得 Siegel 模形式的理论体系更加丰富.

Siegel 模形式是多个复变量自守函数最重要的一个例子, 它的理论具有很长的历史背景. 它和其它一些好的数论工具 (复分析, 代数几何 )一样, 一直在当代数论研究中处于非常重要的地位. L-函数在中心点处的取值问题在很多研究方向中都是很深刻的研究课题. 在证明 Siegel 模形式的 Fourier 系数的变号问题中 Koecher-Maass 级数起到了非常重要的作用. 根据广义黎曼假设, 自守 L-函数 L(s,f) 的所有零点均落在 s=1/2 这条直线上. 这是很难证明的, 一个相对简单的问题就是自守 L-函数在中心点 s=1/2 处的非零问题. 对这些问题的研究将使得Siegel 模形式的理论体系更加丰富, 具有很深的研究意义... 在本项目中的主要研究内容是：（1）我们将研究 Koecher-Maass 级数在临界带型区域内的非零问题, 以及当亏格 n=2 时, 由特征型 F 生成的模函数的非零问题. （2）当 Siegel 模形式的亏格 n=2 时, 特征型 F 属于由 Saito-Kurokawa 提升生成的空间的正交补空间时, 我们考虑了由这类特征型 F 生成的 zeta 函数的非零问题. (3) 由亏格 n=2 的，我们考虑 Bocherer猜想中提到的由 Siegel 模形式生成的 twisted zeta 函数的中心点处的非零问题. (4) 我们还研究了几乎相同变量的四次方的Waring-Goldbach 问题...重要结果：.(1) 我们得到的第一个重要研究成果是找到了合适的研究工具，构造了问题研究所需要的核函数. 为了研究函数中心值处的取值问题，对于给定的复数 s, 我们定义了一个核函数的线性函数，这个线性函数是用 Petersson 内积给出的..(2) 我们得到的第二个重要研究成果是证明我们建立的核函数在一定的带型区域内不为零, 我们利用函数的第一个 Fourier 系数在该区域内非零来证明的..(3) 对于几乎相同的变量的四次方的Waring-Goldbach 问题的研究，对于集合N_17 里每个充分大的自然数都可以表示成几乎相等的17个素数的四次方的和的形式. 并在定理中给出了这些素数的差的上界.