Hankel张量分解的理论、算法及应用研究

Tensor optimization problem is an important research topic in the field of numerical optimization and plays a significant role in the fields of signal processing, machine learning and medical imaging. Hankel tensor decomposition and low-rank approximation problems, which are widely used in the seismic data processing, are important research problems of tensor optimization. Typically, there are still many issues to be solved. In this project, we will study Hankel tensor decomposition and low-rank approximation by combining tensor decomposition and polynomial optimization techniques and using its special structure: (1) Designing efficient optimization algorithms for solving tensor decomposition and low-rank approximation by using separable splitting algorithms. (2) Developing fast algorithms for Hankel tensor decomposition and tensor low-rank approximation by using Fast Fourier Transform. (3) Applying these algorithms to the seismic data processing, such as the denoising and completion of seismic data. This project will provide important theory and algorithms for tensor optimization problems and practical problems.

张量优化问题作为数值优化领域的一个重要研究课题，是信号处理、机器学习和医学成像等领域中重要的工具。Hankel张量分解和低秩逼近优化问题是张量优化的重要研究内容，在地震波数据处理中有广泛应用。目前，这类问题仍有大量关键问题亟待解决。本项目将采用张量分解与多项式优化相结合的技术，利用Hankel张量自身的特殊结构，开展对Hankel张量分解和低秩逼近问题的研究。内容包括：（1）采用可分离优化的分裂算法，设计求解张量分解和低秩逼近的高效优化算法；（2）结合快速傅里叶变换，设计处理Hankel张量分解和张量低秩逼近模型的快速算法；（3）将算法应用到地震数据的处理中，对地震数据的去噪和完整化等方面展开研究。本项目的实施，将为张量优化问题发展和实际问题解决提供重要理论依据与算法支持。

本项目针对多项式优化问题设计了系列有效的数值算法，并运用优化算法和方法分析实际问题：一方面，针对可分结构的凸优化问题的算法设计和分析。基于经典的马科维兹的均值-方差模型，建立考虑峰度的投资组合模型，用张量来刻画峰度，将模型转化为张量优化问题，利用可分离结构提出了非精确的交替方向乘子法求解模型，分析了算法的收敛性，相应的数值实验也验证了算法的有效性。针对图像处理中的鞍点问题，分析了求解混合变分不等式问题算法中的广义原始对偶混合梯度算法的收敛性和收敛速度，证明了两种假设情况条件下的线性收敛速度，并进行了相应的数值实验。另一方面，多元回归问题的计算及应用。对于在线医生评分问题的分析中，通过采用面板数据建立了多元线性回归模型和多项式回归模型，采用多项式优化算法中的最小二乘法求解回归模型，研究结果具有实际应用价值。