动力系统的分支和混沌及其在神经网络中的应用

本项目将几何-分析方法和数值模拟方法结合起来研究动力系统的余维2和余维3所产生的分支类型和分支结构，研究多频率的周期外力扰动和线性或非线性恢复力扰动的非自治系统的分支和混沌等复杂结构，研究具有分段线性输出函数的细胞神经网络动力系统和具有二值不连续信号传输函数的McCulloch-Pitts神经元模型这些非光滑动力系统的分支和混沌；用KAM理论和技术研究具有多对纯虚特征值时滞微分方程由平衡点产生拟周期轨的分支问题和从不变环面产生的分支及其结构稳定性问题，并将这些研究结果应用到神经网络中将以突触权值作为分支参数来研究网络的分支及其结构的稳定性问题，这些研究可完善动力系统理论，也可以为神经网络的电路实现与应用技术工作者提供有力的理论依据,具有重要的理论意义和应用价值。

讨论了自治时滞微分差分方程拟周期解的存在性问题，利用KAM理论和不变空间分解等理论和技术证明了自治时滞微分差分方程拟周期解的存在性，并获得了具有某种退化性的常微分方程的一个KAM定理。利用KAM理论证明了Hopf-Hopf分支(又称双Hopf分支）中原系统的2-维和3-维环面的存在性。较系统地研究了Tinkerbell映射的fold 分支、flip分支、Hopf分支和Marotto意义下的混沌等复杂性质。研究了带参数激励的Josephson系统当参数变化时，动力学行为的变化情况，通过Melnikov方法，给出了在周期扰动下系统产生混沌的条件；用二阶平均方法和次谐波Melnikov函数，分析了系统在未扰动中心附近的谐波解，2-、3-、n-阶次谐波解和2-、3-阶超谐波解的存在性和分支。分别研究了具有Allee作用和没有Allee作用的离散捕食-被捕食系统的动力学性质，利用中心流形定理和分支理论，给出了Flip-分支和Hopf-分支的存在性条件和Marotto意义下混沌的存在条件，研究结果表明Allee常数对动力学行为有很大的影响。研究了具有移位、参数和外部激励的摆方程的复杂动力学性质和混沌控制，通过Melnikov方法，给出了在周期扰动下混沌存在的条件和多种混沌现象；利用二阶平均方法和Melnikov方法，得到了在拟周期扰动下平均系统存在混沌的条件；使用数值模拟揭示了在拟周期扰动下原系统参数对动态行为的影响，如拟周期轨的跳跃行为、交错出现的混沌行为和非混沌行为、内部危机、拟周期轨到混沌吸引子、混沌到拟周期行为的突变、非混沌吸引子等；运用KAM理论证明了具有参数和外部激励的摆方程在周期扰动下对大部分（测度意义下）参数原系统都有多个拟周期轨，这一结果从理论上证实了部分数值模拟现象；应用Melnikov方法，从理论上分别给出了同宿和异宿混沌的控制条件，通过混沌控制激励的参数调节可以将混沌转化为周期行为。利用正规形理论和中心流形定理分析了具有自反馈的双向联想记忆和环状神经网络模型的Hopf分支、分支周期解的稳定性及分支方向。