Carnot-Caratheodory 空间上若干问题

This project will investigate some important problems of geometric measure theory and differential inequalities on the Carnot-Caratheodory space. Firstly, we study the optimal constant problems of the isoperimetric inequality on the Heisenberg group, which is a special Carnot-Caratheodory space; we improve the isoperimetric inequality and obtain the isocapacity inequality via the capacity. Secondly, we investigate the BV capacity on the Heisenberg group and its relation with Sobolev capacity and Hausdorff capacity. We introduce the directional capacity on the Heisenberg group and establish the affine Sobolev inequaltiy；Thirdly, we introduce ∞-capacity on the Heisenberg group and Grushin plane and study its properties and the relation between ∞-capacity and ∞-laplace equation on the Heisenberg group and the Grushin plane. Moreover, we investigate the existence, uniqueness and regularity of the minimizers of the least gradient on the Carnot-Caratheodory space. Finally, we investigate the fractional Laplacian differential inequalities on the Grushin plane and the parabolic fractional differential inequalities on the Heisenberg group.

本项目将围绕 Carnot-Caratheodory 空间上的几何测度论和微分不等式中几个重要的问题进行研究。首先我们将在一类特殊的 Carnot-Caratheodory 空间－海森堡群上研究等周不等式的最佳常数问题，并利用容量对等周不等式进行改进从而得到等容量不等式；其次在海森堡群上研究 BV 容量以及该容量跟 Sobolev 容量和 Hausdorff 容量的关系, 引入方向容量并建立仿射 Sobolev 不等式；再次将在 Grushin 平面和海森堡群上引入 ∞-容量，研究该容量的性质和 ∞-容量跟 ∞-拉普拉斯方程及粘性解的关系；另外，研究 Carnot-Caratheodory 空间上的极小梯度问题的极小值的存在性、唯一性和正则性；最后研究 Grushin 平面上的分数阶拉普拉斯微分不等式和海森堡群上的抛物型分数阶微分不等式。

作为一类典型的Carnot-Caratheodory空间，Grushin平面上几何测度论中的若干问题是近年来学者们关注的热点之一。另外，与薛定谔算子相关的调和分析问题和几何测度论问题与多个数学领域有密切的联系，也成为相关领域的研究热点。这些问题在分析、几何、偏微分方程等领域都有重要的应用，相关的研究结果有重要的理论意义。本项目将围绕Carnot-Caratheodory空间和与薛定谔算子相关的若干重要问题进行研究。首先研究了Grushin平面(一类特殊的Carnot-Caratheodory空间)p-容量的相关性质、等容量不等式以及该容量与p-拉普拉斯方程解之间的关系；研究了Grushin空间(Grushin平面的高维情形)上无穷容量的相关性质、Faber-Krahn不等式和无穷拉普拉斯方程的粘性解之间的关系；研究了具有有限密度的度量空间中分数阶热核的估计，对一类新型的L^p容量进行了研究，给出了一个重要的测度刻画。其次研究了与Hermite算子相关的p-容量的相关性质和对应的p-拉普拉斯方程解之间的关系，还有与Hermite算子相关的有界变差容量的相关理论和等容量不等式。最后研究了与广义薛定谔算子相关的调和分析问题。该项目的部分成果发表在Calc.Var.Partial Differential Equations、Ann.Mat.Pura Appl.、Adv.Nonlinear Anal.、Forum Math.等国际知名的期刊上。本项目研究的问题是调和分析、几何测度论中的热点问题，在偏微分方程、调和分析、几何等领域有潜在的应用。